Mostre se cada série converge condicionalmente, converge absolutamente ou diverge. Justifique sua reposta.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
como converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O termo geral é
. - Pressupõe-se a soma para
(caso usual). - Note que para todo
temos (produto de positivos).
Passo 2
Vou lembrar o que significam as classificações, de forma bem direta e sem jargão.
- Dizemos que a série
converge absolutamente se a série converge. - Dizemos que converge condicionalmente se
converge mas diverga. - Se os termos não levam a soma finita, a série diverge.
Como aquipara todo , temos . Portanto, para séries de termos positivos “convergir” já implica “convergir absolutamente”. Ou seja, basta mostrar que converge; então ela será absolutamente convergente.
Passo 3
Uma estratégia simples é comparar com uma série geométrica conhecida. Considere a série geométrica
Sabemos (fórmula da soma de uma progressão geométrica) que, para
,
Aqui
, logo
ou seja, a geométrica converge.
Passo 4
Agora uso um teste de comparação ou teste do limite para relacionar
com a geométrica. Primeiro uma observação simples: para todo
temos
, então
Multiplicando por
obtemos
Como
converge (constante vezes série geométrica convergente), pelo teste de comparação direta concluímos que
converge.
Passo 5
Como os termos são todos não-negativos, a convergência da série
implica que a série de valores absolutos
também converge. Portanto a série converge absolutamente (não há caso de convergência condicional quando os termos são positivos).
Resposta
Converge absolutamente.