Mostre se cada série converge condicionalmente, converge absolutamente ou diverge. Justifique sua reposta.
\sum\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\left(50+\frac{2}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\left(50+\frac{2}{n}\right)
como converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral é \displaystyle a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\left(50+\frac{2}{n}\right).
  • Pressupõe-se a soma para n=1,2,3,\dots (caso usual).
  • Note que para todo n\ge1 temos a_n>0 (produto de positivos).

Passo 2

Vou lembrar o que significam as classificações, de forma bem direta e sem jargão.
  • Dizemos que a série \sum a_n converge absolutamente se a série \sum |a_n| converge.
  • Dizemos que converge condicionalmente se \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverga.
  • Se os termos não levam a soma finita, a série diverge.
    Como aqui a_n>0 para todo n, temos |a_n|=a_n. Portanto, para séries de termos positivos “convergir” já implica “convergir absolutamente”. Ou seja, basta mostrar que \sum a_n converge; então ela será absolutamente convergente.

Passo 3

Uma estratégia simples é comparar com uma série geométrica conhecida. Considere a série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n.
Sabemos (fórmula da soma de uma progressão geométrica) que, para |r|<1,
\sum_{n=1}^{\infty} r^n = \frac{r}{1-r}.
Aqui r=\tfrac12, logo
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{\tfrac12}{1-\tfrac12} = 1,
ou seja, a geométrica converge.

Passo 4

Agora uso um teste de comparação ou teste do limite para relacionar \sum a_n com a geométrica. Primeiro uma observação simples: para todo n\ge1 temos \dfrac{2}{n}\le 2, então
50+\frac{2}{n}\le 50+2=52.
Multiplicando por \left(\frac{1}{2}\right)^n obtemos
a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\left(50+\frac{2}{n}\right)\le 52\left(\frac{1}{2}\right)^n.
Como \sum 52\left(\tfrac12\right)^n = 52\sum\left(\tfrac12\right)^n converge (constante vezes série geométrica convergente), pelo teste de comparação direta concluímos que \sum a_n converge.

Passo 5

Como os termos são todos não-negativos, a convergência da série \sum a_n implica que a série de valores absolutos \sum |a_n|=\sum a_n também converge. Portanto a série converge absolutamente (não há caso de convergência condicional quando os termos são positivos).

Resposta

Converge absolutamente.

Exercícios relacionados