Mostre se cada série converge condicionalmente, converge absolutamente ou diverge. Justifique sua reposta.
\sum \operatorname{sen}(n \pi / 9)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum \operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{9}\right)
converge condicionalmente, converge absolutamente ou diverge. As informações que temos são os termos gerais da série, ou seja, a_n=\operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{9}\right). A tarefa é justificar por que a série se encaixa numa dessas três situações.

Passo 2

Vou lembrar um teste fundamental (que tu precisa ter decorado para a prova): se a série \sum a_n converge, então o termo geral a_n necessariamente tende a zero quando n\to\infty. Explicando por que isso é verdade: se os somatórios parciais
s_N=\sum_{n=1}^{N} a_n
convergem para algum s quando N\to\infty, então
a_N = s_N - s_{N-1}.
Como s_N\to s e s_{N-1}\to s, segue que a_N\to 0. Portanto, uma verificação rápida: se a_n\not\to 0, a série não pode convergir (diverge). Esse é o teste da divergência (condição necessária).

Passo 3

Vamos analisar o comportamento do termo geral
a_n=\operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{9}\right).
Note que
\operatorname{sen}\!\left(\frac{(n+18)\pi}{9}\right) =\operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{9}+2\pi\right) =\operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{9}\right),
porque somar 2\pi ao argumento da função seno não muda o valor. Logo a sequência \big(a_n\big) é periódica de período 18 (os valores se repetem a cada 18 índices).

Passo 4

Como a sequência é periódica, existem subsequências constantes. Por exemplo, para n_k=1+18k temos
a_{n_k}=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{9}\right)\quad\text{para todo }k.
O número \frac{\pi}{9} não é múltiplo de \pi, então \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{9}\right)\neq 0. Assim existe uma subsequência de a_n que converge para um valor diferente de zero, o que impede que a_n\to 0.

Passo 5

Pelo teste da divergência (Passo 2), como a_n\not\to 0, a série \sum \operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{9}\right) não converge. Portanto a série diverge.

Passo 6

Para finalizar: se alguém perguntasse sobre convergência absoluta, também falamos rápido: |\operatorname{sen}(n\pi/9)| tem uma subsequência igual a |\operatorname{sen}(\pi/9)|>0, então os termos absolutos também não tendem a zero, e a série dos módulos \sum |\operatorname{sen}(n\pi/9)| também diverge. Assim não há nem convergência absoluta nem condicional — é simplesmente divergente.

Resposta

Diverge.

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