Mostre se cada série converge condicionalmente, converge absolutamente ou diverge. Justifique sua reposta.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge condicionalmente, converge absolutamente ou diverge. As informações que temos são os termos gerais da série, ou seja,
. A tarefa é justificar por que a série se encaixa numa dessas três situações.
Passo 2
Vou lembrar um teste fundamental (que tu precisa ter decorado para a prova): se a série
converge, então o termo geral
necessariamente tende a zero quando
. Explicando por que isso é verdade: se os somatórios parciais
convergem para algum
quando
, então
Como
e
, segue que
. Portanto, uma verificação rápida: se
, a série não pode convergir (diverge). Esse é o teste da divergência (condição necessária).
Passo 3
Vamos analisar o comportamento do termo geral
Note que
porque somar
ao argumento da função seno não muda o valor. Logo a sequência
é periódica de período
(os valores se repetem a cada 18 índices).
Passo 4
Como a sequência é periódica, existem subsequências constantes. Por exemplo, para
temos
O número
não é múltiplo de
, então
. Assim existe uma subsequência de
que converge para um valor diferente de zero, o que impede que
.
Passo 5
Pelo teste da divergência (Passo 2), como
, a série
não converge. Portanto a série diverge.
Passo 6
Para finalizar: se alguém perguntasse sobre convergência absoluta, também falamos rápido:
tem uma subsequência igual a
, então os termos absolutos também não tendem a zero, e a série dos módulos
também diverge. Assim não há nem convergência absoluta nem condicional — é simplesmente divergente.
Resposta
Diverge.