Exemplo 0.2 Dados z_{1}=1-3 i, z_{2}=3+1 e z_{3}=7 i, resolva as expressões:
\overline{\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}+z_{3}\right)}.

Passo 1

O enunciado dá os números complexos
\displaystyle z_{1}=1-3i, \displaystyle z_{2}=3+i e \displaystyle z_{3}=7i
e pede para calcular
\displaystyle \overline{\bigl(\tfrac{z_{1}}{z_{2}}+z_{3}\bigr)}.
Vamos então (1) dividir z_{1} por z_{2}, (2) somar z_{3} ao resultado e (3) aplicar a conjugação ao total.

Passo 2

Para dividir
\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{1-3i}{3+i},
multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de 3+i, que é 3-i:
\frac{1-3i}{3+i}\;\cdot\;\frac{3-i}{3-i} \;=\;\frac{(1-3i)(3-i)}{3^{2}+1^{2}} \;=\;\frac{(1\cdot3 +1\cdot(-i) -3i\cdot3 -3i\cdot(-i))}{10} \;=\;\frac{3 - i -9i +3\,i^{2}}{10} \;=\;\frac{3 -10i -3}{10} \;=\;\frac{-10i}{10} \;=\;-i.

Passo 3

Agora somamos z_{3}=7i ao resultado:
\frac{z_{1}}{z_{2}} + z_{3} = -i + 7i = 6i.

Passo 4

Por fim, aplicamos a conjugação em 6i. Como \overline{a\,i} = -a\,i, temos
\overline{6i} = -6i.

Resposta

-6i

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