Um exemplo do decaimento é o de um dos isótopos radioativos do urânio, que se transforma em tório, emitindo uma partícula alfa, um núcleo de hélio, ou seja:
^92 U232 ^90 Th228+ ^2 He4
Na notação empregada, o número inferior refere-se à carga nuclear e o superior, à massa aproximada do núcleo respectivo.
Sabe-se que o núcleo de urânio está em repouso e a energia de desintegração é E=5,40 MeV.Considerandose as leis de conservação e o fato de a mecânica newtoniana permitir, com boa aproximação, o cálculo das energias cinéticas, determine a energia cinética da partícula alfa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o decaimento de um isótopo de urânio que se transforma em tório e emite uma partícula alfa (que é basicamente um núcleo de hélio). Estamos trabalhando com conceitos de física nuclear, especificamente com as leis de conservação de energia e momento. Para resolver, vamos precisar entender como a energia de desintegração se distribui entre as partículas resultantes e como aplicar a conservação de momento para encontrar a energia cinética da partícula alfa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece no decaimento:
^92U232 ^90Th228 + ^2He4
O núcleo de urânio (U) está inicialmente em repouso. Quando ele decai, forma-se um núcleo de tório (Th) e uma partícula alfa (He). A energia total liberada nesse processo é de E = 5,40 , MeV.

Passo 3

Como o núcleo de urânio está em repouso, o momento total antes do decaimento é zero. De acordo com a lei da conservação do momento, o momento total após o decaimento também deve ser zero. Isso significa que o momento da partícula alfa deve ser igual e oposto ao momento do núcleo de tório.
Matematicamente, isso fica:
palpha = pTh

Passo 4

A energia cinética ( K) de uma partícula está relacionada ao seu momento ( p) e massa ( m) pela equação:
K = p^22m
Como palpha = pTh, podemos relacionar as energias cinéticas das duas partículas:
Kalpha = palpha^22malpha e KTh = pTh^22mTh
Como palpha = pTh, podemos escrever:
KTh = malphamTh Kalpha

Passo 5

Sabemos que a energia total liberada é a soma das energias cinéticas das duas partículas:
E = Kalpha + KTh
Substituindo KTh pela expressão anterior:
E = Kalpha + malphamTh Kalpha = Kalpha (1 + malphamTh)

Passo 6

Agora, vamos isolar Kalpha:
Kalpha = E1 + malphamTh
Simplificando a fração:
Kalpha = E cdot mThmTh + malpha

Passo 7

Os números de massa dos núcleos são:
mTh = 228 e malpha = 4
Substituindo na expressão:
Kalpha = 5,40 , MeV times 228228 + 4 = 5,40 times 228232

Passo 8

Fazendo as contas:
Kalpha = 1231,2232 approx 5,30 , MeV

Resposta

A energia cinética da partícula alfa é aproximadamente 5,30 , MeV.

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