Um exemplo do decaimento é o de um dos isótopos radioativos do urânio, que se transforma em tório, emitindo uma partícula alfa, um núcleo de hélio, ou seja:
Na notação empregada, o número inferior refere-se à carga nuclear e o superior, à massa aproximada do núcleo respectivo.
Sabe-se que o núcleo de urânio está em repouso e a energia de desintegração é
.Considerandose as leis de conservação e o fato de a mecânica newtoniana permitir, com boa aproximação, o cálculo das energias cinéticas, determine a energia cinética da partícula alfa.
Sabe-se que o núcleo de urânio está em repouso e a energia de desintegração é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o decaimento de um isótopo de urânio que se transforma em tório e emite uma partícula alfa (que é basicamente um núcleo de hélio). Estamos trabalhando com conceitos de física nuclear, especificamente com as leis de conservação de energia e momento. Para resolver, vamos precisar entender como a energia de desintegração se distribui entre as partículas resultantes e como aplicar a conservação de momento para encontrar a energia cinética da partícula alfa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece no decaimento:
O núcleo de urânio (U) está inicialmente em repouso. Quando ele decai, forma-se um núcleo de tório (Th) e uma partícula alfa (He). A energia total liberada nesse processo é de
.
Passo 3
Como o núcleo de urânio está em repouso, o momento total antes do decaimento é zero. De acordo com a lei da conservação do momento, o momento total após o decaimento também deve ser zero. Isso significa que o momento da partícula alfa deve ser igual e oposto ao momento do núcleo de tório.
Matematicamente, isso fica:
Passo 4
A energia cinética (
) de uma partícula está relacionada ao seu momento (
) e massa (
) pela equação:
Como
, podemos relacionar as energias cinéticas das duas partículas:
Como
, podemos escrever:
Passo 5
Sabemos que a energia total liberada é a soma das energias cinéticas das duas partículas:
Substituindo
pela expressão anterior:
Passo 6
Agora, vamos isolar
:
Simplificando a fração:
Passo 7
Os números de massa dos núcleos são:
Substituindo na expressão:
Passo 8
Fazendo as contas:
Resposta
A energia cinética da partícula alfa é aproximadamente
.