EXEMPLO: Difusão gasosa de oxigênio \left(\mathrm{O}_{2}\right) - nitrogênio \left(\mathrm{N}_{2}\right)

Numa mistura gasosa de oxigênio-nitrogênio a 1 atm e 25^{\circ} \mathrm{C} contida entre dois planos separados pela distância z=2 \mathrm{~mm}, as concentrações de oxigênio nos dois planos são 10 e 20% (por volume). Calcule o fluxo de oxigênio para as seguintes situações:
a) nitrogênio estacionário;
b) contradifusão equimolar dos dois gases.

Passo 1

O enunciado trata da difusão de oxigênio \mathrm{O}_2 em nitrogênio \mathrm{N}_2 a 1 atm e 25^\circC entre dois planos separados por L=2 mm, com frações molares de oxigênio y_{1,A}=0{,}10 e y_{1,B}=0{,}20. O conteúdo é difusão binária de gases, aplicaremos a lei de Fick e a correção para fluxo de contracorrente quando o segundo componente está estacionário.

Passo 2

Primeiro calculamos a concentração total do gás a 1 atm e 25^\circC:
c = \frac{p}{R\,T} = \frac{101325\\ \mathrm{Pa}}{8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\,K)}\times298\\ \mathrm{K}} \approx 40{,}8\\ \mathrm{mol/m^3}.
Para o coeficiente de difusão binária tomamos D_{12}=2{,}1\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}, valor típico para \mathrm{O}_2 \mathrm{N}_2 a 1 atm.

Passo 3

Situação (a): nitrogênio estacionário, isto é N_2=0. A lei de Fick corrigida para fluxo molar de \mathrm{O}_2 é
j_1 = -D_{12}\,c\frac{d y_1}{d z} + y_1\,N_T,
com N_T = j_1 + N_2 = j_1. Logo
j_1 (1 - y_1) = -D_{12}\,c\,\frac{d y_1}{d z} \quad\Longrightarrow\quad j_1 = -\frac{D_{12}\,c}{1-y_1}\,\frac{d y_1}{d z}.
Integramos de z=0 ( y_1=0{,}10) até z=L ( y_1=0{,}20):
j_1 = -\frac{D_{12}\,c}{L}\int_{y_{1,A}}^{y_{1,B}}\frac{d y_1}{1-y_1} = -\frac{D_{12}\,c}{L}\Bigl[\ln(1-y_1)\Bigr]_{0{,}10}^{0{,}20} = \frac{D_{12}\,c}{L}\ln\!\frac{1-0{,}10}{1-0{,}20}.
Substituindo D_{12}=2{,}1\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}, c=40{,}8\\ \mathrm{mol/m^3}, L=2\times10^{-3}\\ \mathrm{m}:
j_1 = \frac{2{,}1\times10^{-5}\times40{,}8}{2\times10^{-3}} \ln\!\frac{0{,}90}{0{,}80} \approx 0{,}0505\\ \mathrm{mol/(m^2\cdot s)}.

Passo 4

Situação (b): contradifusão equimolar, ou seja N_1 + N_2 = 0 e fluxo total N_T=0. A lei de Fick simplifica-se a
j_1 = -D_{12}\,c\,\frac{d y_1}{d z}.
Com gradiente linear d y_1/d z = (0{,}20-0{,}10)/L, temos
j_1 = -D_{12}\,c\,\frac{0{,}10}{2\times10^{-3}} = -\frac{2{,}1\times10^{-5}\times40{,}8\times0{,}10}{2\times10^{-3}} \approx -0{,}0428\\ \mathrm{mol/(m^2\cdot s)}.
O sinal negativo indica que o fluxo de \mathrm{O}_2 vai de B para A; o módulo é 0{,}0428\\ \mathrm{mol/(m^2\cdot s)}.

Resposta

(a) j_{\mathrm{O}_2}\approx0{,}0505\\ \mathrm{mol/(m^2\cdot s)}
(b) \lvert j_{\mathrm{O}_2}\rvert\approx0{,}0428\\ \mathrm{mol/(m^2\cdot s)}

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