Sejam A=(0,1) e B=\left\{\left.\frac{1}{n} \right\rvert\, n \in \mathbb{N}\right\}. Determine:
\overline{A-B}

Passo 1

Resumindo, temos A=(0,1) e
B = \bigl\{\tfrac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}\bigr\}.
Queremos encontrar a aderência (fecho) de A\setminus B. O conteúdo aqui é topologia em \mathbb{R}: entender fecho de conjunto e pontos-limite.

Passo 2

O conjunto removido é
A\setminus B = (0,1)\;\setminus\;\bigl\{\tfrac{1}{n}\mid n\ge2\bigr\},
pois \tfrac1{1}=1\notin(0,1). Logo em A tiramos apenas os pontos \tfrac12,\tfrac13,\tfrac14,\dots.

Passo 3

Para ver que todo ponto x\in(0,1) pertence ao fecho de A\setminus B, note que dado qualquer \varepsilon>0, o intervalo (x-\varepsilon,x+\varepsilon) contém infinitos pontos de (0,1) distintos de \tfrac1n. Ou seja, qualquer vizinhança de x intercepta A\setminus B. Assim
(0,1)\subset\overline{A\setminus B}.

Passo 4

Cada ponto removido \tfrac1n é também ponto-limite de A\setminus B, pois ao redor de \tfrac1n há sempre pontos de (0,1) que não são exatamente \tfrac1n. Logo
\bigl\{\tfrac1n\mid n\ge2\bigr\}\subset\overline{A\setminus B}.

Passo 5

Os extremos 0 e 1 são limites de sequências em A\setminus B (por exemplo 1/k\to0 e (1-1/k)\to1, omitindo termos que caiam em B), então
\{0,1\}\subset\overline{A\setminus B}.

Resposta

\overline{A\setminus B} = [0,1].

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