Sejam A=(0,1) e B=\left\{\left.\frac{1}{n} \right\rvert\, n \in \mathbb{N}\right\}. Determine: \overline{A-B}
Passo 1
Resumindo, temos A=(0,1) e
B = \bigl\{\tfrac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}\bigr\}.
Queremos encontrar a aderência (fecho) de A\setminus B. O conteúdo aqui é topologia em \mathbb{R}: entender fecho de conjunto e pontos-limite.
Passo 2
O conjunto removido é
A\setminus B = (0,1)\;\setminus\;\bigl\{\tfrac{1}{n}\mid n\ge2\bigr\},
pois \tfrac1{1}=1\notin(0,1). Logo em A tiramos apenas os pontos \tfrac12,\tfrac13,\tfrac14,\dots.
Passo 3
Para ver que todo ponto x\in(0,1) pertence ao fecho de A\setminus B, note que dado qualquer \varepsilon>0, o intervalo (x-\varepsilon,x+\varepsilon) contém infinitos pontos de (0,1) distintos de \tfrac1n. Ou seja, qualquer vizinhança de x intercepta A\setminus B. Assim
(0,1)\subset\overline{A\setminus B}.
Passo 4
Cada ponto removido \tfrac1n é também ponto-limite de A\setminus B, pois ao redor de \tfrac1n há sempre pontos de (0,1) que não são exatamente \tfrac1n. Logo