Resolva as equações diferenciais:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+5 \frac{d y}{d x}+6 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantes
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 5\frac{dy}{dx} + 6y = 0.
O método é usar a equação característica, que transforma a EDO em uma equação algébrica em r.

Passo 2

Supondo uma solução do tipo y=e^{rx}, temos
\frac{dy}{dx}=r e^{rx}, \quad \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=r^2 e^{rx}.
Substituindo na EDO original:
r^2 e^{rx} + 5r e^{rx} + 6 e^{rx} = 0.
Como e^{rx}\neq0, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica.

Passo 3

A equação característica é
r^2 + 5r + 6 = 0.
Para resolvê-la, usamos a fórmula de Bhaskara ou fatoração direta.

Passo 4

Fatorando:
r^2 + 5r + 6 = (r + 2)(r + 3) = 0,
logo as raízes são
r_1 = -2, \quad r_2 = -3.

Passo 5

Como as raízes r_1 e r_2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C_{1}e^{r_1 x} + C_{2}e^{r_2 x}.
Substituindo r_1 e r_2:

Resposta

y(x) = C_{1}e^{-2x} + C_{2}e^{-3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

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