Exemplo 3

Integral da Função Constante



Integral da Função Constante}
Seja f ;[a, b] R a função constante f(x)=k,'para todo x in[a, b]. Então, se P é uma partição de [a, b] e ci é uma escolha qualquer de pontos ci in[xi-1, xi], a Soma de Riemann de f associada é
S(f, P)=sumi=1^n f(ci) De<a xi=sumi=1^n k De<a xi=k sumi=1^n De<a xi=k(b-a)
Portanto,
integrala^b k d x=lim |P| 0 sumi=1^n f(ci) De<a xi=lim |P| 0 k(b-a)=k(b-a)

Passo 1

Vamos resolver a integral de uma função constante f(x) = k no intervalo [a, b]. Para isso, vamos usar o conceito de Soma de Riemann, que nos ajuda a calcular áreas sob curvas. Precisaremos entender como somar pequenas áreas retangulares que aproximam a integral.

Passo 2

Primeiro, imaginamos que dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos menores. Cada um desses subintervalos tem um comprimento De<a xi = xi - xi-1. Isso é chamado de partição P do intervalo.

Passo 3

Em cada subintervalo, escolhemos um ponto qualquer ci. A Soma de Riemann é a soma das áreas desses retângulos, onde a altura é f(ci) e a base é De<a xi. Assim, a soma fica:
S(f, P) = sumi=1^n f(ci) De<a xi
Como f(x) = k é constante, temos f(ci) = k para qualquer ci.

Passo 4

Substituindo f(ci) por k na soma, ficamos com:
S(f, P) = sumi=1^n k De<a xi = k sumi=1^n De<a xi
A soma das De<a xi é igual ao comprimento total do intervalo, ou seja, b - a. Portanto:
S(f, P) = k (b - a)

Passo 5

Para encontrar a integral, tomamos o limite dessa soma quando a partição fica cada vez mais fina ( |P| 0):
integrala^b k , dx = lim |P| 0 S(f, P) = lim |P| 0 k(b - a) = k(b - a)

Resposta

integrala^b k , dx = k (b - a)

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