Exemplo 1.4.6. Numa enquete sobre as atividades aeróbicas, constatouse que: 400 pessoas praticam natação; 270 praticam ciclismo; 290 praticam atletismo; 140 praticam natação e ciclismo; 90 praticam natação e atletismo; 100 praticam ciclismo e atletismo; 20 praticam os três esportes pesquisados.
a) Quantas pessoas praticam natação ou ciclismo ou atletismo?
b) Quantas pessoas praticam apenas uma dessas três atividades?
c) Quantas pessoas praticam pelo menos duas dessas atividades?
d) Quantas pessoas praticam exatamente duas desas atividades?
a) Quantas pessoas praticam natação ou ciclismo ou atletismo?
b) Quantas pessoas praticam apenas uma dessas três atividades?
c) Quantas pessoas praticam pelo menos duas dessas atividades?
d) Quantas pessoas praticam exatamente duas desas atividades?
Passo 1
Temos três conjuntos de pessoas que praticam natação (
), ciclismo (
) e atletismo (
) com:
,
,
,
,
,
,
.
O conteúdo usado será a teoria de conjuntos e o Princípio da Inclusão-Exclusão para calcular união, apenas um, pelo menos dois e exatamente dois.
O conteúdo usado será a teoria de conjuntos e o Princípio da Inclusão-Exclusão para calcular união, apenas um, pelo menos dois e exatamente dois.
Passo 2
Para (a) queremos
.
Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão:
Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão:
Substituindo:
Passo 3
Para (b) queremos quem pratica apenas uma das três atividades.
Uma forma direta é calcular, por exemplo, quem faz só natação:
Uma forma direta é calcular, por exemplo, quem faz só natação:
Analogamente:
,
.
Somando todos que praticam exatamente uma:
Somando todos que praticam exatamente uma:
Passo 4
Para (c) queremos quem pratica pelo menos duas atividades, ou seja, interseções de pares contando também quem faz as três.
Note que
,
mas quem faz os três está contado em cada uma dessas três interseções, ou seja, três vezes. Para contar cada pessoa de “três esportes” só uma vez, subtraímos duas cópias:
Note que
mas quem faz os três está contado em cada uma dessas três interseções, ou seja, três vezes. Para contar cada pessoa de “três esportes” só uma vez, subtraímos duas cópias:
Passo 5
Para (d) queremos quem faz exatamente duas atividades, ou seja, descontar desse total os que fazem as três:
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)