Exemplo 1.4.6. Numa enquete sobre as atividades aeróbicas, constatouse que: 400 pessoas praticam natação; 270 praticam ciclismo; 290 praticam atletismo; 140 praticam natação e ciclismo; 90 praticam natação e atletismo; 100 praticam ciclismo e atletismo; 20 praticam os três esportes pesquisados.
a) Quantas pessoas praticam natação ou ciclismo ou atletismo?
b) Quantas pessoas praticam apenas uma dessas três atividades?
c) Quantas pessoas praticam pelo menos duas dessas atividades?
d) Quantas pessoas praticam exatamente duas desas atividades?

Passo 1

Temos três conjuntos de pessoas que praticam natação ( N), ciclismo ( C) e atletismo ( A) com:
lvert Nrvert=400, lvert Crvert=270, lvert Arvert=290,
lvert Ncap Crvert=140, lvert Ncap Arvert=90, lvert Ccap Arvert=100,
lvert Ncap Ccap Arvert=20.
O conteúdo usado será a teoria de conjuntos e o Princípio da Inclusão-Exclusão para calcular união, apenas um, pelo menos dois e exatamente dois.

Passo 2

Para (a) queremos
lvert Ncup Ccup Arvert.
Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão:
lvert Ncup Ccup Arvert =lvert Nrvert+lvert Crvert+lvert Arvert -l(lvert Ncap Crvert+lvert Ncap Arvert+lvert Ccap Arvertr) +lvert Ncap Ccap Arvert
Substituindo:
lvert Ncup Ccup Arvert =400+270+290-(140+90+100)+20 =650

Passo 3

Para (b) queremos quem pratica apenas uma das três atividades.
Uma forma direta é calcular, por exemplo, quem faz só natação:
lvertsó Nrvert =lvert Nrvert -lvert Ncap Crvert -lvert Ncap Arvert +lvert Ncap Ccap Arvert =400-140-90+20=190 ó
Analogamente:
lvertsó Crvert=270-140-100+20=50ó,
lvertsó Arvert=290-90-100+20=120ó.
Somando todos que praticam exatamente uma:
190+50+120=360

Passo 4

Para (c) queremos quem pratica pelo menos duas atividades, ou seja, interseções de pares contando também quem faz as três.
Note que
lvert Ncap Crvert+lvert Ncap Arvert+lvert Ccap Arvert=140+90+100=330,
mas quem faz os três está contado em cada uma dessas três interseções, ou seja, três vezes. Para contar cada pessoa de “três esportes” só uma vez, subtraímos duas cópias:
lvertpelo menos duasrvert =330-2cdot20 =290

Passo 5

Para (d) queremos quem faz exatamente duas atividades, ou seja, descontar desse total os que fazem as três:
lvertexatamente duasrvert =lvertpelo menos duasrvert -lvert Ncap Ccap Arvert =290-20 =270

Resposta

a) ,650
b) ,360
c) ,290
d) ,270

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