EXEMPLO 1
Se
, encontre
SOLUÇÃO
O número 2 não está no domínio de
, pois, se fizermos
, obteremos a expressão indeterminada 0/0. Fatorando-se o numerador e o denominador, obtemos
Não podemos cancelar o fator
neste momento; todavia, se tomarmos o limite
quando
, tal cancelamento é permitido, porque, por (2.1)
, daí,
. Assim,
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede calcular
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é a razão de dois polinômios: numerador
e denominador . - O ponto onde o limite deve ser calculado é
.
O que é pedido:
- Encontrar o valor de
.
Passo 2
Primeira verificação direta: testar a substituição direta
para ver se o limite pode ser obtido por substituição.
Calcular o numerador em
:
.
Calcular o denominador em :
.
Calcular o denominador em
Fazendo as contas:
Portanto, a substituição direta dá
, uma indeterminação do tipo
. Isso indica que não podemos simplesmente avaliar a função em
(ela provavelmente não está definida em
), mas o limite pode existir; é preciso manipular a expressão para remover a indeterminação.
Passo 3
Estratégia didática: quando surge
em uma função racional, uma técnica comum é fatorar numerador e denominador para verificar se um fator comum causa a indeterminação (um “fator anulador”
, por exemplo). Vou fatorar o numerador passo a passo.
Numerador:
.
Procura-se fatoração em termos lineares. Teste por agrupamento:
Agora agrupar:
Fator comum
:
Portanto o numerador fatorado é
.
Passo 4
Agora fatorar o denominador passo a passo.
Denominador:
.
Procurar quebra do termo linear por agrupamento:
Agrupando:
Fator comum
:
Portanto o denominador fatorado é
.
Passo 5
Reescrevendo
com as fatorações obtidas:
Observação importante (justificativa do cancelamento): o cancelamento do fator
só é válido para
. Na definição de limite, ao calcular
estamos interessados no comportamento de
para valores de
próximos de
, mas diferentes de
. Assim, em algum intervalo ao redor de
(exceto no próprio ponto
) vale
, e daí podemos simplificar a expressão dividindo por
.
Logo, para
temos a função simplificada
e vale
.
Essa é uma propriedade básica de limites: se duas funções coincidem em um vizinho de
exceto possivelmente em
mesmo, elas têm o mesmo limite em
.
Passo 6
Agora que a indeterminação foi removida, podemos avaliar o limite por substituição direta na função simplificada
.
Calcular o numerador em
:
Calcular o denominador em :
Calcular o denominador em
Portanto,
Passo 7
Interpretação final e dica para prova:
- A função original tem uma descontinuidade removível em
: ela não está definida em (porque dava ), mas o limite existe e é . Se no enunciado pedissem a continuidade, bastaria definir para “remover” a descontinuidade. - Técnica padrão para esse tipo de exercício: ao aparecer
em funções racionais, tente fatorar e cancelar fatores comuns; se não for possível, considere outras ferramentas (por exemplo, regra de L’Hôpital, se já estiver permitido).
Força aí — essa técnica de fatorar e cancelar resolve muitos limites de provas!