EXEMPLO 1

Se f(x)=\frac{2 x^{2}-5 x+2}{5 x^{2}-7 x-6}, encontre \lim _{x \rightarrow 2} f(x)

SOLUÇÃO

O número 2 não está no domínio de f, pois, se fizermos x=2, obteremos a expressão indeterminada 0/0. Fatorando-se o numerador e o denominador, obtemos
f(x)=\frac{(x-2)(2 x-1)}{(x-2)(5 x+3)}
Não podemos cancelar o fator x-2 neste momento; todavia, se tomarmos o limite f(x) quando x \rightarrow 2, tal cancelamento é permitido, porque, por (2.1) x \neq 2 \mathrm{e}, daí, x-2 \neq 0. Assim,
\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 2} f(x) & =\lim _{x \rightarrow 2} \frac{2 x^{2}-5 x+2}{5 x^{2}-7 x-6} \\\ & =\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x-2)(2 x-1)}{(x-2)(5 x+3)} \\\ & =\lim _{x \rightarrow 2} \frac{2 x-1}{5 x+3}=\frac{3}{13} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá a função racional f(x)=\dfrac{2x^{2}-5x+2}{5x^{2}-7x-6} e pede calcular \lim_{x\rightarrow 2} f(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é a razão de dois polinômios: numerador 2x^{2}-5x+2 e denominador 5x^{2}-7x-6.
  • O ponto onde o limite deve ser calculado é x=2.
O que é pedido:
  • Encontrar o valor de \lim_{x\rightarrow 2} f(x).

Passo 2

Primeira verificação direta: testar a substituição direta x=2 para ver se o limite pode ser obtido por substituição.
Calcular o numerador em x=2: \;2\cdot 2^{2}-5\cdot 2+2.
Calcular o denominador em x=2: \;5\cdot 2^{2}-7\cdot 2-6.
Fazendo as contas:
2\cdot 2^{2}-5\cdot 2+2 = 2\cdot 4 -10 +2 = 8-10+2 =0,
5\cdot 2^{2}-7\cdot 2-6 = 5\cdot 4 -14 -6 =20-14-6 =0.
Portanto, a substituição direta dá \dfrac{0}{0}, uma indeterminação do tipo 0/0. Isso indica que não podemos simplesmente avaliar a função em x=2 (ela provavelmente não está definida em x=2), mas o limite pode existir; é preciso manipular a expressão para remover a indeterminação.

Passo 3

Estratégia didática: quando surge 0/0 em uma função racional, uma técnica comum é fatorar numerador e denominador para verificar se um fator comum causa a indeterminação (um “fator anulador” x-2, por exemplo). Vou fatorar o numerador passo a passo.
Numerador: 2x^{2}-5x+2.
Procura-se fatoração em termos lineares. Teste por agrupamento:
2x^{2}-5x+2 = 2x^{2}-4x -x +2.
Agora agrupar:
(2x^{2}-4x) + (-x+2) = 2x(x-2) -1(x-2).
Fator comum (x-2):
2x(x-2) -1(x-2) = (x-2)(2x-1).
Portanto o numerador fatorado é \; (x-2)(2x-1).

Passo 4

Agora fatorar o denominador passo a passo.
Denominador: 5x^{2}-7x-6.
Procurar quebra do termo linear por agrupamento:
5x^{2}-7x-6 = 5x^{2}-10x +3x -6.
Agrupando:
(5x^{2}-10x) + (3x-6) = 5x(x-2) +3(x-2).
Fator comum (x-2):
5x(x-2) +3(x-2) = (x-2)(5x+3).
Portanto o denominador fatorado é \; (x-2)(5x+3).

Passo 5

Reescrevendo f(x) com as fatorações obtidas:
f(x)=\frac{2x^{2}-5x+2}{5x^{2}-7x-6} = \frac{(x-2)(2x-1)}{(x-2)(5x+3)}.
Observação importante (justificativa do cancelamento): o cancelamento do fator (x-2) só é válido para x\neq 2. Na definição de limite, ao calcular \lim_{x\rightarrow 2} f(x) estamos interessados no comportamento de f(x) para valores de x próximos de 2, mas diferentes de 2. Assim, em algum intervalo ao redor de 2 (exceto no próprio ponto 2) vale x\neq 2, e daí podemos simplificar a expressão dividindo por (x-2).
Logo, para x\neq 2 temos a função simplificada
g(x)=\frac{2x-1}{5x+3},
e vale \lim_{x\rightarrow 2} f(x)=\lim_{x\rightarrow 2} g(x).
Essa é uma propriedade básica de limites: se duas funções coincidem em um vizinho de a exceto possivelmente em a mesmo, elas têm o mesmo limite em a.

Passo 6

Agora que a indeterminação foi removida, podemos avaliar o limite por substituição direta na função simplificada g(x)=\dfrac{2x-1}{5x+3}.
Calcular o numerador em x=2: \;2\cdot 2 -1 =4-1 =3.
Calcular o denominador em x=2: \;5\cdot 2 +3 =10+3 =13.
Portanto,
\lim_{x\rightarrow 2} f(x) = \lim_{x\rightarrow 2} \frac{2x-1}{5x+3} = \frac{3}{13}.

Passo 7

Interpretação final e dica para prova:
  • A função original tem uma descontinuidade removível em x=2: ela não está definida em x=2 (porque dava 0/0), mas o limite existe e é \dfrac{3}{13}. Se no enunciado pedissem a continuidade, bastaria definir f(2)=\dfrac{3}{13} para “remover” a descontinuidade.
  • Técnica padrão para esse tipo de exercício: ao aparecer 0/0 em funções racionais, tente fatorar e cancelar fatores comuns; se não for possível, considere outras ferramentas (por exemplo, regra de L’Hôpital, se já estiver permitido).
Força aí — essa técnica de fatorar e cancelar resolve muitos limites de provas!

Resposta

\dfrac{3}{13}

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