Se f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{3}+x^{2}-2 x} determine as descontinuidades de f.

Passo 1

O enunciado dá a função racional \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{3}+x^{2}-2x} e pede: determinar as descontinuidades de f.
Informações extraídas do enunciado:
  • A função é uma razão de polinômios (função racional).
  • Descontinuidades ocorrem onde o denominador é zero (esses x não pertencem ao domínio original).
  • Temos que identificar todos esses pontos e, quando possível, classificar o tipo de descontinuidade (removível — “buraco” — ou não removível — assíntota vertical).

Passo 2

Vamos achar explicitamente os zeros do denominador. Primeiro escrevo o denominador e fatoro-o passo a passo:
x^{3}+x^{2}-2x = x\bigl(x^{2}+x-2\bigr).
Agora fatoro o quadrático x^{2}+x-2. Procuro dois números que multiplicados dão -2 e somados dão 1: são 2 e -1. Logo
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1).
Portanto o denominador fatorado é
x^{3}+x^{2}-2x = x(x+2)(x-1).
Assim os zeros do denominador (os pontos que precisam ser investigados) são x=0, x=-2 e x=1.

Passo 3

Fatoro também o numerador \,x^{2}-1. Reconheço uma diferença de quadrados:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).

Passo 4

Escrevo f(x) com os fatores encontrados:
f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x(x+2)(x-1)}.
Vejo que o fator (x-1) aparece no numerador e no denominador. Para x\neq1 posso simplificar esse fator, obtendo a função simplificada
g(x)=\frac{x+1}{x(x+2)},\qquad (x\neq1).
Importante: a simplificação algebraica mostra que para x\neq1 a expressão de f(x) coincide com g(x). Porém o ponto x=1 permanece excluído do domínio original porque o denominador original é zero ali. Portanto x=1 é candidato a uma descontinuidade removível (vou verificar o limite).

Passo 5

Análise da descontinuidade em x=1 (caso de cancelamento).
Calculo o limite de f quando x\to1. Como para x\neq1 vale f(x)=g(x), posso usar g para calcular o limite:
\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}g(x)=\lim_{x\to1}\frac{x+1}{x(x+2)}=\frac{1+1}{1\cdot(1+2)}=\frac{2}{3}.
Assim o limite existe e é finito, mas f(1) não está definido (denominador original zero). Isso caracteriza uma descontinuidade removível (um “buraco”) em x=1. Se quisesse “remendar” a função, definir f(1)=2/3 tornaria a função contínua em 1.

Passo 6

Análise das descontinuidades em x=0 e x=-2 (sem cancelamento).
Para esses pontos o fator (x-1) não é zero, portanto o numerador no ponto é:
  • em x=0: numerador (0)^2-1=-1\neq0,
  • em x=-2: numerador (-2)^2-1=4-1=3\neq0 — atenção: ao usar a forma simplificada g(x) o numerador em x=-2 é x+1=-1, que também é \neq0; ambos os pontos têm numerador não nulo.
Quando o denominador tende a zero mas o numerador tende a um valor diferente de zero, a função tende a \pm\infty (comportamento de assíntota vertical). Para ser completo avalio os limites laterais rápidos (sinais) usando g(x)=\dfrac{x+1}{x(x+2)}:
  • Em x\to0:
    • x+1 tende a 1>0.
    • x(x+2) tem sinal do x (pois x+2 perto de 0 é aproximadamente 2>0).
    • Para x\to0^+ o denominador é + pequeno → f(x)\to +\infty.
    • Para x\to0^- o denominador é - pequeno → f(x)\to -\infty.
      Conclusão: há assíntota vertical em x=0 e os dois limites laterais são infinitos de sinais opostos.
  • Em x\to-2:
    • x+1 tende a -1 (negativo).
    • x é aproximadamente -2 (negativo) e x+2 tende a 0.
    • Para x\to-2^+ tem-se x+2>0 pequeno, x<0, então x(x+2)<0; numerador -1 / denominador negativo ⇒ quociente +\infty.
    • Para x\to-2^- tem-se x+2<0 pequeno, x<0, então x(x+2)>0; numerador -1 / denominador positivo ⇒ quociente -\infty.
      Conclusão: há assíntota vertical em x=-2 e os limites laterais são infinitos com sinais opostos.
Portanto x=0 e x=-2 são descontinuidades não removíveis (assíntotas verticais).

Passo 7

Resumo e interpretação final:
  • Os zeros do denominador original são x=-2,\,0,\,1. Em x=1 o fator comum foi cancelado, gerando uma descontinuidade removível (buraco) cujo limite é 2/3. Em x=0 e x=-2 o numerador não se anula, então há assíntotas verticais (descontinuidades não removíveis), com limites laterais \pm\infty (sinais opostos de cada lado).

Resposta

x = 1: descontinuidade removível (buraco), \displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=\tfrac{2}{3}
x = 0: descontinuidade não removível (assíntota vertical), \displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty,\\ \lim_{x\to0^-}f(x)=-\infty
x = -2: descontinuidade não removível (assíntota vertical), \displaystyle \lim_{x\to-2^+}f(x)=+\infty,\\ \lim_{x\to-2^-}f(x)=-\infty

Exercícios relacionados