Se
determine as descontinuidades de
.
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede: determinar as descontinuidades de
.
Informações extraídas do enunciado:
- A função é uma razão de polinômios (função racional).
- Descontinuidades ocorrem onde o denominador é zero (esses
não pertencem ao domínio original). - Temos que identificar todos esses pontos e, quando possível, classificar o tipo de descontinuidade (removível — “buraco” — ou não removível — assíntota vertical).
Passo 2
Vamos achar explicitamente os zeros do denominador. Primeiro escrevo o denominador e fatoro-o passo a passo:
Agora fatoro o quadrático
. Procuro dois números que multiplicados dão
e somados dão
: são
e
. Logo
Portanto o denominador fatorado é
Assim os zeros do denominador (os pontos que precisam ser investigados) são
,
e
.
Passo 3
Fatoro também o numerador
. Reconheço uma diferença de quadrados:
Passo 4
Escrevo
com os fatores encontrados:
Vejo que o fator
aparece no numerador e no denominador. Para
posso simplificar esse fator, obtendo a função simplificada
Importante: a simplificação algebraica mostra que para
a expressão de
coincide com
. Porém o ponto
permanece excluído do domínio original porque o denominador original é zero ali. Portanto
é candidato a uma descontinuidade removível (vou verificar o limite).
Passo 5
Análise da descontinuidade em
(caso de cancelamento).
Calculo o limite de quando
. Como para
vale
, posso usar
para calcular o limite:
Calculo o limite de
Assim o limite existe e é finito, mas
não está definido (denominador original zero). Isso caracteriza uma descontinuidade removível (um “buraco”) em
. Se quisesse “remendar” a função, definir
tornaria a função contínua em
.
Passo 6
Análise das descontinuidades em
e
(sem cancelamento).
Para esses pontos o fator não é zero, portanto o numerador no ponto é:
Para esses pontos o fator
- em
: numerador , - em
: numerador — atenção: ao usar a forma simplificada o numerador em é , que também é ; ambos os pontos têm numerador não nulo.
Quando o denominador tende a zero mas o numerador tende a um valor diferente de zero, a função tende a
(comportamento de assíntota vertical). Para ser completo avalio os limites laterais rápidos (sinais) usando
:
-
Em
: -
tende a . -
tem sinal do (pois perto de é aproximadamente ). - Para
o denominador é pequeno → . - Para
o denominador é pequeno → .
Conclusão: há assíntota vertical eme os dois limites laterais são infinitos de sinais opostos.
-
-
Em
: -
tende a (negativo). -
é aproximadamente (negativo) e tende a . - Para
tem-se pequeno, , então ; numerador / denominador negativo ⇒ quociente . - Para
tem-se pequeno, , então ; numerador / denominador positivo ⇒ quociente .
Conclusão: há assíntota vertical eme os limites laterais são infinitos com sinais opostos.
-
Portanto
e
são descontinuidades não removíveis (assíntotas verticais).
Passo 7
Resumo e interpretação final:
- Os zeros do denominador original são
. Em o fator comum foi cancelado, gerando uma descontinuidade removível (buraco) cujo limite é . Em e o numerador não se anula, então há assíntotas verticais (descontinuidades não removíveis), com limites laterais (sinais opostos de cada lado).
Resposta
x = 1: descontinuidade removível (buraco),
x = 0: descontinuidade não removível (assíntota vertical),
x = -2: descontinuidade não removível (assíntota vertical),
x = 0: descontinuidade não removível (assíntota vertical),
x = -2: descontinuidade não removível (assíntota vertical),