Mostre que f(x)=x^{5}+2 x^{4}-6 x^{3}+2 x-3 tem um zero entre 1 e 2 .

SOLUÇÃO

Substituindo x por 1 e 2 obtemos os valores da função.
\begin{aligned} & f(1)=1+2-6+2-3=-4 \\\ & f(2)=32+32-48+4-3=17 \end{aligned}
Como f(1) e f(2) têm sinais opostos, segue-se do teorema do valor intermediário que f\text{(c)}=0 para ao menos um número real c entre 1 e 2.

Passo 1

O enunciado dá a função polinomial f definida por
f(x)=x^{5}+2x^{4}-6x^{3}+2x-3,
e pede para mostrar que existe pelo menos uma raiz (um zero) de f entre 1 e 2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função f é um polinômio com coeficientes explícitos (mostrados acima).
  • O intervalo de interesse é [1,2].
  • A pergunta é: provar que existe c com 1<c<2 tal que f\text{(c)}=0.

Passo 2

Avaliar a função em x=1. Vou calcular cada termo cuidadosamente para você poder reproduzir na prova:
1^{5}=1,\qquad 2\cdot 1^{4}=2,\qquad -6\cdot 1^{3}=-6,\qquad 2\cdot 1=2,\qquad -3=-3.
Somando os termos:
f(1)=1+2-6+2-3.
Agora agrupo para facilitar:
1+2+2=5,\qquad 6+3=9,
então
f(1)=5-9=-4.
Portanto f(1)=-4, que é negativo.

Passo 3

Avaliar a função em x=2. De novo, calculo termo a termo:
2^{5}=32,\qquad 2\cdot 2^{4}=2\cdot 16=32,\qquad -6\cdot 2^{3}=-6\cdot 8=-48,
2\cdot 2=4,\qquad -3=-3.
Somando:
f(2)=32+32-48+4-3.
Agrupando para facilitar:
32+32+4=68,\qquad 48+3=51,
então
f(2)=68-51=17.
Portanto f(2)=17, que é positivo.

Passo 4

Explicar o princípio usado (teorema do valor intermediário) e por que podemos aplicá-lo aqui.
  1. Continuidade: todo polinômio é uma combinação finita de somas e produtos de funções básicas x\mapsto x e constantes; essas funções são contínuas, e soma e produto de funções contínuas são contínuas. Logo, f é contínua em todo \mathbb{R}, em particular em [1,2].
  2. Teorema do valor intermediário (TVI) — enunciado simples e intuitivo: se uma função g é contínua em um intervalo fechado [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos (ou seja, g(a)\cdot g(b)<0), então existe pelo menos um ponto c em (a,b) tal que g\text{(c)}=0. Intuição rápida: uma curva contínua que começa abaixo do eixo x e termina acima do eixo x tem que atravessar o eixo em algum ponto.
  3. Aplicando ao nosso caso: já achamos f(1)=-4<0 e f(2)=17>0. Como f é contínua em [1,2] e há mudança de sinal entre as extremidades, o TVI garante a existência de pelo menos um c com 1<c<2 tal que
f\text{(c)}=0.

Passo 5

Resumo do raciocínio para você usar na prova (passos padrão que funcionam para polinômios):
  • Verifique que a função é contínua no intervalo (para polinômios isso já é automático).
  • Calcule f(a) e f(b) nos extremos do intervalo [a,b].
  • Se f(a) e f(b) tiverem sinais opostos, conclua pela aplicação do Teorema do Valor Intermediário que existe uma raiz em (a,b).
Se quiser, na hora da prova você pode ainda estimar numericamente essa raiz por bisseção: dividir o intervalo ao meio e verificar o sinal do valor intermediário, repetindo até a precisão desejada.

Resposta

Existe c\in(1,2) tal que f\text{(c)}=0.

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