Mostre que
tem um zero entre 1 e 2 .
SOLUÇÃO
Substituindo
por 1 e 2 obtemos os valores da função.
Como
e
têm sinais opostos, segue-se do teorema do valor intermediário que
para ao menos um número real
entre 1 e 2.
Passo 1
O enunciado dá a função polinomial
definida por
e pede para mostrar que existe pelo menos uma raiz (um zero) de
entre
e
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função
é um polinômio com coeficientes explícitos (mostrados acima). - O intervalo de interesse é
. - A pergunta é: provar que existe
com tal que .
Passo 2
Avaliar a função em
. Vou calcular cada termo cuidadosamente para você poder reproduzir na prova:
Somando os termos:
Agora agrupo para facilitar:
então
Portanto
, que é negativo.
Passo 3
Avaliar a função em
. De novo, calculo termo a termo:
Somando:
Agrupando para facilitar:
então
Portanto
, que é positivo.
Passo 4
Explicar o princípio usado (teorema do valor intermediário) e por que podemos aplicá-lo aqui.
-
Continuidade: todo polinômio é uma combinação finita de somas e produtos de funções básicas
e constantes; essas funções são contínuas, e soma e produto de funções contínuas são contínuas. Logo, é contínua em todo , em particular em . -
Teorema do valor intermediário (TVI) — enunciado simples e intuitivo: se uma função
é contínua em um intervalo fechado e e têm sinais opostos (ou seja, ), então existe pelo menos um ponto em tal que . Intuição rápida: uma curva contínua que começa abaixo do eixo e termina acima do eixo tem que atravessar o eixo em algum ponto. -
Aplicando ao nosso caso: já achamos
e . Como é contínua em e há mudança de sinal entre as extremidades, o TVI garante a existência de pelo menos um com tal que
Passo 5
Resumo do raciocínio para você usar na prova (passos padrão que funcionam para polinômios):
- Verifique que a função é contínua no intervalo (para polinômios isso já é automático).
- Calcule
e nos extremos do intervalo . - Se
e tiverem sinais opostos, conclua pela aplicação do Teorema do Valor Intermediário que existe uma raiz em .
Se quiser, na hora da prova você pode ainda estimar numericamente essa raiz por bisseção: dividir o intervalo ao meio e verificar o sinal do valor intermediário, repetindo até a precisão desejada.
Resposta
Existe
tal que
.