Dê um exemplo de função f, não negativa, diferente da função nula, definida em [a, b] que satisfaça: \lim _{a}^{b} f=0. Justifique!
Passo 1
O enunciado pede que eu dê um exemplo de uma função f com as seguintes propriedades:
f é definida em [a,b];
f(x)\ge 0 para todo x\in[a,b] (não-negativa);
f não é a função nula (isto é, existe algum x com f(x)>0);
e \displaystyle \int_{a}^{b} f = 0.
Observação: vou entender a notação “\lim_{a}^{b} f=0” como a condição \displaystyle \int_{a}^{b} f = 0, que é a formulação padrão desse tipo de exercício. Não foi pedido mais nada além de encontrar um exemplo e justificá-lo.
Passo 2
Vou construir a função clássica chamada função de Thomae (também chamada de “popcorn function”). Definição:
f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{q}, & \text{se } x=\dfrac{p}{q}\in\mathbb{Q}\text{ está na forma irredutível (}q>0\text{)},\\[6pt] 0, & \text{se } x\notin\mathbb{Q}. \end{cases}
Aqui p e q são inteiros coprimos e q>0. A função está claramente definida para todo x\in[a,b].]
Passo 3
Verificações imediatas e intuitivas:
Não-negatividade: para todo x tem-se f(x)\ge 0 porque 1/q>0 para racionais e 0 para irracionais.
Não é a função nula: existem números racionais em [a,b]. Para qualquer racional x=p/q temos f(x)=1/q>0. Logo f\not\equiv 0.
Passo 4
Vou explicar por que \displaystyle \int_{a}^{b} f=0. A ideia é mostrar que, dado qualquer \varepsilon>0, é possível construir uma partição cujo somatório superior (upper sum) é menor que \varepsilon; isso implica que a integral de Riemann (seu valor comum inferior-superior) é 0.
Primeiro, observe que f é limitada: 0\le f(x)\le 1 para todo x, porque q\ge 1 implica 1/q\le 1.
Passo 5
Argumento detalhado (epsilon‑proof) para \int_a^b f=0.
Seja \varepsilon>0. Escolha um inteiro N tal que
\frac{1}{N} < \frac{\varepsilon}{2(b-a)}.
Considere o conjunto S_N dos racionais em [a,b] cuja representação irredutível tem denominador q\le N. Esse conjunto S_N é finito (pois para cada q\le N há apenas finitos p com p/q\in[a,b]). Como S_N é finito, é possível cobrir cada ponto de S_N por um pequeno intervalo aberto de modo que a soma dos comprimentos desses intervalos seja menor que \varepsilon/2. Denote por U a união desses intervalos; então |U|<\varepsilon/2, onde |U| é o comprimento total da união.
Agora, em [a,b]\setminus U temos duas coisas importantes:
todo x\in[b,a]\setminus U que seja irracional satisfaz f(x)=0;
todo x\in[b,a]\setminus U que seja racional tem denominador q>N (porque os racionais com q\le N foram cobertos por U); logo para esses racionais f(x)=1/q \le 1/N.
Portanto, em [a,b]\setminus U vale f(x)\le 1/N. Assim a contribuição máxima de [a,b]\setminus U para uma soma superior é
Como isso vale para todo \varepsilon>0, o ínfimo dos somatórios superiores é 0. Como além disso f\ge0 implica que o supremo dos somatórios inferiores é \ge 0, concluímos que a integral de Riemann existe e vale 0:
\int_{a}^{b} f = 0.
Passo 6
Resumo do raciocínio de forma intuitiva: a função é positiva apenas nos racionais e, embora em muitos racionais o valor possa ser relativamente grande, os racionais com denominador pequeno são finitos e podem ser confinados em intervalos de comprimento arbitrariamente pequeno; os racionais restantes têm valor muito pequeno (\le 1/N). Isso permite fazer a soma superior tão pequena quanto se queira, provando que a integral é zero.
Resposta
f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{q}, & \text{se } x=\dfrac{p}{q}\in\mathbb{Q}\text{ em forma irredutível},\\[6pt] 0, & \text{se } x\notin\mathbb{Q}. \end{cases}í]