Dê exemplo de função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} contínua em x=2 que não é derivável em x=2.

Passo 1

O que o enunciado pede: "Dar um exemplo de função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} que seja contínua em x=2 e que não seja derivável em x=2".
Informações relevantes: domínio é todo \mathbb{R}; precisamos garantir duas propriedades no ponto x=2: (1) continuidade em 2 e (2) não existência da derivada em 2. Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Vou propor uma função muito simples e clássica para esse objetivo:
f(x)=|x-2|.
Aqui eu usei a função valor absoluto deslocada para a direita em 2. Essa função está definida para todo x\in\mathbb{R}, então o domínio está ok.

Passo 3

Lembrete didático sobre continuidade num ponto: uma função f é contínua em x=2 se
\lim_{x\to 2} f(x)=f(2).
Vou calcular f(2) e os limites laterais para mostrar que a igualdade vale.

Passo 4

Calcule f(2):
f(2)=|2-2|=0.

Passo 5

Escrevo f\) em forma peça a peça (definição do valor absoluto): \[f(x)=\begin{cases} 2-x, & x<2,\\[4pt] 0, & x=2,\\[4pt] x-2, & x>2. \end{cases}
Agora cálculo os limites laterais em (2].]

Passo 6

Limite pela direita ( x\to2^+): para x>2 temos f(x)=x-2, então
\lim_{x\to 2^+} f(x)=\lim_{x\to 2^+} (x-2)=0.
Limite pela esquerda ( x\to2^-): para x<2 temos f(x)=2-x, então
\lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{x\to 2^-} (2-x)=0.
Como os dois limites laterais são iguais a 0 e f(2)=0, concluímos que
\lim_{x\to 2} f(x)=f(2),
ou seja, f é contínua em x=2.

Passo 7

Agora a parte da derivabilidade. Lembrete didático: f é derivável em x=2 se existir o limite
f'(2)=\lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}.
Se os limites laterais (com h\to0^+ e h\to0^-) forem diferentes, a derivada não existe.

Passo 8

Calculo a derivada pela direita (usar h>0):
para h>0 temos f(2+h)=|h|=h. Então
\lim_{h\to 0^+}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{h-0}{h}=\lim_{h\to 0^+}1=1.

Passo 9

Calculo a derivada pela esquerda (usar h<0):
para h<0 temos f(2+h)=|h|=-h. Então
\lim_{h\to 0^-}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{-h-0}{h}=\lim_{h\to 0^-}(-1)=-1.

Passo 10

Como os limites laterais da diferença quociente são diferentes ( 1 pela direita e -1 pela esquerda), o limite total \lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h} não existe. Portanto f não é derivável em x=2.

Passo 11

Resumo didático-final: f(x)=|x-2| é contínua em x=2 porque os limites laterais coincidem com o valor da função, mas não é derivável em x=2 porque a inclinação à direita e à esquerda no ponto são diferentes (forma de “canto” ou “vértice” no gráfico). Isso exemplifica a ideia importante: derivabilidade implica continuidade, mas continuidade não implica derivabilidade.

Resposta

f(x)=|x-2|

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