Dê exemplo de função
contínua em
que não é derivável em
.
Passo 1
O que o enunciado pede: "Dar um exemplo de função
que seja contínua em
e que não seja derivável em
".
Informações relevantes: domínio é todo ; precisamos garantir duas propriedades no ponto
: (1) continuidade em
e (2) não existência da derivada em
. Não há outras restrições no enunciado.
Informações relevantes: domínio é todo
Passo 2
Vou propor uma função muito simples e clássica para esse objetivo:
Aqui eu usei a função valor absoluto deslocada para a direita em
. Essa função está definida para todo
, então o domínio está ok.
Passo 3
Lembrete didático sobre continuidade num ponto: uma função
é contínua em
se
Vou calcular
e os limites laterais para mostrar que a igualdade vale.
Passo 4
Calcule
:
Passo 5
Escrevo
Agora cálculo os limites laterais em (2].]
Passo 6
Limite pela direita (
): para
temos
, então
Limite pela esquerda (
): para
temos
, então
Como os dois limites laterais são iguais a
e
, concluímos que
ou seja,
é contínua em
.
Passo 7
Agora a parte da derivabilidade. Lembrete didático:
é derivável em
se existir o limite
Se os limites laterais (com
e
) forem diferentes, a derivada não existe.
Passo 8
Calculo a derivada pela direita (usar
):
para temos
. Então
para
Passo 9
Calculo a derivada pela esquerda (usar
):
para temos
. Então
para
Passo 10
Como os limites laterais da diferença quociente são diferentes (
pela direita e
pela esquerda), o limite total
não existe. Portanto
não é derivável em
.
Passo 11
Resumo didático-final:
é contínua em
porque os limites laterais coincidem com o valor da função, mas não é derivável em
porque a inclinação à direita e à esquerda no ponto são diferentes (forma de “canto” ou “vértice” no gráfico). Isso exemplifica a ideia importante: derivabilidade implica continuidade, mas continuidade não implica derivabilidade.