Mostre que a função
é derivável. A função (f^{\prime}] é derivável?
Passo 1
O enunciado define a função
e pede duas coisas:
- Mostrar que ).
- Verificar se a função derivada
é derivável (ou seja, se tem derivada em todo ).\n
Informações relevantes dadas: a função é por partes, sendo um polinômiopara e outro polinômio para . Não há outras informações externas.]
Passo 2
Lembrete importante — o que significa ser derivável num ponto e a estratégia para funções por partes.
Definição: dizemos que é derivável em
se existir o limite
Definição: dizemos que
Para funções por partes, uma estratégia prática é:
- Para pontos interiores de cada região onde a fórmula é uma expressão comum (aqui, para
e para ), usamos regras usuais (polinômios são deriváveis). - O ponto que exige atenção é o ponto de junção da definição por partes (aqui
): devemos calcular a derivada no ponto usando a definição e checar se o limite existe (isto é, se as diferenças quocientes pela direita e pela esquerda coincidem).
Também convém checar continuidade da derivada quando perguntam seé derivável: a derivabilidade de em um ponto exige que o limite do quociente exista.
Passo 3
Derivabilidade para
.
Aqui , que é um polinômio. Todo polinômio é derivável em todos os pontos do seu domínio. Portanto, para
temos
Aqui
Explicando a regra: a derivada de
é
. No caso
dá
.
Passo 4
Derivabilidade para
.
Aqui , outro polinômio, logo derivável para todo
. Assim
Aqui
Regra usada: derivada de
é
.
Passo 5
Derivabilidade em
(o ponto crítico).
Precisamos calcular
Precisamos calcular
Primeiro,
(pegando a definição para
) é
. Então
Calculamos as duas direções (esquerda e direita):
Para
(aproximação pela direita), usamos
. Então
e
Para
(aproximação pela esquerda), usamos
. Então
e
Como os limites lateral à direita e à esquerda coincidem e valem
, o limite total existe e
Passo 6
Conclusão parcial sobre
Observação: note que
, portanto
é contínua em
(os dois lados coincidem e igualam
).]
Passo 7
Pergunta: a função
é derivável? Estratégia: verificar derivabilidade de
em todo ponto. Para
temos fórmulas polinomiais, deriváveis; o único ponto potencialmente problemático é
.
Para
, como
, a derivada de
aí é
Para
, como
, a derivada de
aí é
Resta checar derivabilidade de
em
, isto é, existir o limite
Passo 8
Cálculo do limite definidor de
. Lembrando que
.
Limite pela esquerda (
):
e
Limite pela direita (
):
e
Os limites laterais não coincidem (
à esquerda e
à direita ), logo o limite total não existe. Portanto
não existe:
não é derivável em
.
Passo 9
Conclusão final sobre
.
-
é derivável para todo (com derivada para e para ). - Mas
não é derivável em porque as taxas de variação laterais de em são diferentes. Assim, não é derivável em todo .