Mostre que a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \[f(x)= \begin{cases}x^{3}, & x<0 \\\ x^{2}, & x \geq 0\end{cases}
é derivável. A função (f^{\prime}] é derivável?

Passo 1

O enunciado define a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) por \[f(x)= \begin{cases}x^{3}, & x<0, \\[4pt] x^{2}, & x\ge 0,\end{cases}
e pede duas coisas:
  1. Mostrar que f\] é derivável (ou seja, derivável em todo \(\mathbb{R}).
  2. Verificar se a função derivada f' é derivável (ou seja, se f' tem derivada em todo \mathbb{R}).\n
    Informações relevantes dadas: a função é por partes, sendo um polinômio x^{3} para x<0 e outro polinômio x^{2} para x\ge0. Não há outras informações externas.]

Passo 2

Lembrete importante — o que significa ser derivável num ponto e a estratégia para funções por partes.
Definição: dizemos que f é derivável em a se existir o limite
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Para funções por partes, uma estratégia prática é:
  • Para pontos interiores de cada região onde a fórmula é uma expressão comum (aqui, para x<0 e para x>0), usamos regras usuais (polinômios são deriváveis).
  • O ponto que exige atenção é o ponto de junção da definição por partes (aqui x=0): devemos calcular a derivada no ponto usando a definição e checar se o limite existe (isto é, se as diferenças quocientes pela direita e pela esquerda coincidem).
    Também convém checar continuidade da derivada quando perguntam se f' é derivável: a derivabilidade de f' em um ponto a exige que o limite do quociente \dfrac{f'(a+h)-f'(a)}{h} exista.

Passo 3

Derivabilidade para x<0.
Aqui f(x)=x^{3}, que é um polinômio. Todo polinômio é derivável em todos os pontos do seu domínio. Portanto, para x<0 temos
f'(x)=\frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}\quad\text{para }x<0.
Explicando a regra: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. No caso n=3 3x^{2}.

Passo 4

Derivabilidade para x>0.
Aqui f(x)=x^{2}, outro polinômio, logo derivável para todo x>0. Assim
f'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2})=2x\quad\text{para }x>0.
Regra usada: derivada de x^{2} é 2x.

Passo 5

Derivabilidade em x=0 (o ponto crítico).
Precisamos calcular
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}.
Primeiro, f(0) (pegando a definição para x\ge0) é f(0)=0^{2}=0. Então
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)}{h}.
Calculamos as duas direções (esquerda e direita):
Para h>0 (aproximação pela direita), usamos f(h)=h^{2}. Então
\frac{f(h)}{h}=\frac{h^{2}}{h}=h,
e
\lim_{h\to 0^{+}} \frac{f(h)}{h}=\lim_{h\to 0^{+}} h = 0.
Para h<0 (aproximação pela esquerda), usamos f(h)=h^{3}. Então
\frac{f(h)}{h}=\frac{h^{3}}{h}=h^{2},
e
\lim_{h\to 0^{-}} \frac{f(h)}{h}=\lim_{h\to 0^{-}} h^{2}=0.
Como os limites lateral à direita e à esquerda coincidem e valem 0, o limite total existe e
f'(0)=0.

Passo 6

Conclusão parcial sobre f\). Reunindo os resultados dos passos anteriores, \(f\) é derivável em todo \(\mathbb{R}\). A derivada é dada por \[f'(x)=\begin{cases}3x^{2}, & x<0,\\[4pt]0, & x=0,\\[4pt]2x, & x>0.\end{cases}
Observação: note que \lim_{x\to 0^{-}}f'(x)=\lim_{x\to 0^{-}}3x^{2}=0\] e \(\lim_{x\to 0^{+}}f'(x)=\lim_{x\to 0^{+}}2x=0, portanto f' é contínua em 0 (os dois lados coincidem e igualam f'(0)).]

Passo 7

Pergunta: a função f' é derivável? Estratégia: verificar derivabilidade de f' em todo ponto. Para x\neq 0 temos fórmulas polinomiais, deriváveis; o único ponto potencialmente problemático é x=0.
Para x<0, como f'(x)=3x^{2}, a derivada de f' aí é
(f')'(x)=\frac{d}{dx}(3x^{2})=6x\quad\text{para }x<0.
Para x>0, como f'(x)=2x, a derivada de f' aí é
(f')'(x)=\frac{d}{dx}(2x)=2\quad\text{for }x>0.
Resta checar derivabilidade de f' em 0, isto é, existir o limite
(f')'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f'(0+h)-f'(0)}{h}.

Passo 8

Cálculo do limite definidor de (f')'(0). Lembrando que f'(0)=0.
Limite pela esquerda ( h\to 0^{-}):
\frac{f'(h)-f'(0)}{h}=\frac{3h^{2}-0}{h}=3h,
e
\lim_{h\to 0^{-}} 3h = 0.
Limite pela direita ( h\to 0^{+}):
\frac{f'(h)-f'(0)}{h}=\frac{2h-0}{h}=2,
e
\lim_{h\to 0^{+}} 2 = 2.
Os limites laterais não coincidem ( 0 à esquerda e 2 à direita ), logo o limite total não existe. Portanto (f')'(0) não existe: f' não é derivável em 0.

Passo 9

Conclusão final sobre f'.
  • f' é derivável para todo x\neq 0 (com derivada (f')'(x)=6x para x<0 e (f')'(x)=2 para x>0).
  • Mas f' não é derivável em x=0 porque as taxas de variação laterais de f' em 0 são diferentes. Assim, f' não é derivável em todo \mathbb{R}.

Resposta

f é derivável em todo \mathbb{R}.\n
f' não é derivável (não é derivável em 0).

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