Observe as multiplicações a seguir:
Para obter 999999999 devemos multiplicar 12345679 por:
А) 29
B) 99
C) 72
D) 41
(E) 81
А) 29
B) 99
C) 72
D) 41
(E) 81
Passo 1
O enunciado dá as três multiplicações abaixo:
E pergunta: para obter
devemos multiplicar
por qual dos valores abaixo?
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 2
Vamos identificar um padrão nesses exemplos. Note que os multiplicadores dados podem ser escritos como múltiplos de
:
Os resultados são números com todos os dígitos iguais:
. Isso sugere que existe uma relação especial entre
e
. Vou mostrar uma forma limpa de ver isso usando somas geométricas.
Passo 3
Considere o número formado por nove uns:
A soma da progressão geométrica dá
Se dividirmos esse número por
obtemos
Ou seja,
Multiplicando ambos os lados por
temos
Esse é o porquê de
ter essa ligação direta com
.
Passo 4
Agora generalizamos: se
, então para qualquer inteiro
temos
Quando
é um dígito entre
e
, multiplicar
por
simplesmente dá
repetido nove vezes, já que cada dígito
multiplicado por
é
e não há transporte (carry) entre casas. Por exemplo:
o que concorda com o enunciado, e análogos para
e
.
Passo 5
Para obter
precisamos que
. Isso ocorre quando
. Portanto o multiplicador buscado é
Verificação rápida:
Resposta
E)