Observe as multiplicações a seguir:
\begin{aligned} & 12345679 \times 18=222222222 \\\ & 12345679 \times 27=333333333 \\\ & 12345679 \times 54=666666666 \end{aligned}
Para obter 999999999 devemos multiplicar 12345679 por:
А) 29
B) 99
C) 72
D) 41
(E) 81

Passo 1

O enunciado dá as três multiplicações abaixo:
\begin{aligned} & 12345679 \times 18=222222222 \\\ & 12345679 \times 27=333333333 \\\ & 12345679 \times 54=666666666 \end{aligned}
E pergunta: para obter 999999999 devemos multiplicar 12345679 por qual dos valores abaixo?
A) 29
B) 99
C) 72
D) 41
E) 81

Passo 2

Vamos identificar um padrão nesses exemplos. Note que os multiplicadores dados podem ser escritos como múltiplos de 9:
18=9\cdot2,\qquad 27=9\cdot3,\qquad 54=9\cdot6.
Os resultados são números com todos os dígitos iguais: 222222222,\,333333333,\,666666666. Isso sugere que existe uma relação especial entre 12345679 e 9. Vou mostrar uma forma limpa de ver isso usando somas geométricas.

Passo 3

Considere o número formado por nove uns:
111111111 = 1+10+10^2+\cdots+10^8.
A soma da progressão geométrica dá
111111111=\frac{10^9-1}{10-1}=\frac{10^9-1}{9}.
Se dividirmos esse número por 9 obtemos
\frac{111111111}{9}=12345679.
Ou seja,
12345679=\frac{10^9-1}{81}.
Multiplicando ambos os lados por 9 temos
12345679\cdot9=111111111.
Esse é o porquê de 12345679 ter essa ligação direta com 111111111.

Passo 4

Agora generalizamos: se 12345679\cdot9=111111111, então para qualquer inteiro k temos
12345679\cdot(9k)=111111111\cdot k.
Quando k é um dígito entre 1 e 9, multiplicar 111111111 por k simplesmente dá k repetido nove vezes, já que cada dígito 1 multiplicado por k é k e não há transporte (carry) entre casas. Por exemplo:
12345679\cdot(9\cdot2)=12345679\cdot18=111111111\cdot2=222222222,
o que concorda com o enunciado, e análogos para k=3 e k=6.

Passo 5

Para obter 999999999 precisamos que 111111111\cdot k = 999999999. Isso ocorre quando k=9. Portanto o multiplicador buscado é
9k=9\cdot9=81.
Verificação rápida:
12345679\cdot81=(12345679\cdot9)\cdot9=111111111\cdot9=999999999.

Resposta

E) 81

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