Dê um exemplo de uma função tal que defina implicitamente como função de numa vizinhança do ponto ), mas .

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de função F(x,y) tal que a equação
F(x,y)=0
defina implicitamente y como função de x numa vizinhança de (x0,y0), embora
partial Fpartial y(x0,y0)=0
O conteúdo envolvido é a ideia de solução implícita de equações, sem precisar do critério padrão partial F/partial yneq0.

Passo 2

Considere
F(x,y)=y^3-x
No ponto (x0,y0)=(0,0) temos
F(0,0)=0^3-0=0, partial Fpartial y(x,y)=3y^2 ;Longrightarrow; partial Fpartial y(0,0)=3cdot0^2=0
Apesar de partial F/partial y(0,0)=0, a equação y^3-x=0 pode ser resolvida isolando y:
y^3=x Longrightarrow y(x)=raiz[3],x,

Passo 3

A função y(x)=raiz[3]x está bem definida numa vizinhança de x=0, ou seja, para x real próximo de zero existe exatamente um y tal que y^3-x=0. Assim, mesmo com partial F/partial y=0 em (0,0), conseguimos expressar y como função de x.

Resposta

Um exemplo simples é
F(x,y)=y^3-x,
no ponto (x0,y0)=(0,0). Aqui partial F/partial y(0,0)=0, mas F(x,y)=0 define y implicitamente pela função y(x)=raiz[3]x.

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