Seja
uma curva no plano
definida pela equação
.
a) Determine os pontos da curva
na vizinhança dos quais não podemos definir
como função de
.
b) Encontre os pontos eríticos da função
definida implicitamente pela curva
, para
.
c) Estude a natureza dos pontos críticos encontrados no item b).
a) Determine os pontos da curva
b) Encontre os pontos eríticos da função
c) Estude a natureza dos pontos críticos encontrados no item b).
Passo 1
O enunciado define a curva
O que precisamos:
– (a) achar os pontos em que não podemos resolver para como função de
(Teorema da Função Implícita falha quando
);
– (b) obter os pontos críticos de (derivada nula) com a condição
;
– (c) classificar esses pontos críticos (teste da segunda derivada).
– (a) achar os pontos em que não podemos resolver para
– (b) obter os pontos críticos de
– (c) classificar esses pontos críticos (teste da segunda derivada).
Passo 2
Para (a) calculamos
Pelo Teorema da Função Implícita não podemos definir
localmente quando
Da primeira segue
. Substituindo em
:
Logo os pontos são
Passo 3
Para (b) derivamos implicitamente:
Ponto crítico ocorre quando
, isto é
além de
. Da primeira
. Substituindo em
:
Como queremos
só cabe
,
. Assim o único ponto crítico com
é
Passo 4
Para classificar este ponto calculamos a segunda derivada. Chamando
temos
e
onde
e
. No ponto
vale
,
e
, logo
,
. Assim
o que indica que
é ponto de máximo local de
.
Resposta
(a)
e
(b) ponto crítico
(c) máximo local em
(b) ponto crítico
(c) máximo local em