Seja C uma curva no plano x y definida pela equação x^2+x y+y^2=27.
a) Determine os pontos da curva C na vizinhança dos quais não podemos definir y como função de x.
b) Encontre os pontos eríticos da função y=f(x) definida implicitamente pela curva C, para y>3.
c) Estude a natureza dos pontos críticos encontrados no item b).

Passo 1

O enunciado define a curva
F(x,y)=x^2+xy+y^2-27=0
O que precisamos:
– (a) achar os pontos em que não podemos resolver para y como função de x (Teorema da Função Implícita falha quando partial F/partial y=0);
– (b) obter os pontos críticos de y=f(x) (derivada nula) com a condição y>3;
– (c) classificar esses pontos críticos (teste da segunda derivada).

Passo 2

Para (a) calculamos
partial Fpartial y(x,y)=x+2y
Pelo Teorema da Função Implícita não podemos definir y localmente quando
x+2y=0 e x^2+xy+y^2=27
Da primeira segue x=-2y. Substituindo em F=0:
(-2y)^2+(-2y)y+y^2=4y^2-2y^2+y^2=3y^2=27 implies y=pm3
Logo os pontos são
(-6,3) e (6,-3)

Passo 3

Para (b) derivamos implicitamente:
dydx=-FxFy =-2x+y,x+2y,
Ponto crítico ocorre quando dy/dx=0, isto é
2x+y=0 e x^2+xy+y^2=27,
além de y>3. Da primeira y=-2x. Substituindo em F=0:
3x^2=27 implies x=pm3
Como queremos y=-2x>3 só cabe x=-3, y=6. Assim o único ponto crítico com y>3 é
(-3,6)

Passo 4

Para classificar este ponto calculamos a segunda derivada. Chamando
N(x,y)=2x+y, D(x,y)=x+2y,
temos y'=-N/D e
y''=-N',D - N,D'D^2,
onde N'=2+y' e D'=1+2y'. No ponto (-3,6) vale N=0, D=9 e y'=0, logo N'=2, D'=1. Assim
y''(-3)=-2cdot9 - 0cdot19^2 =-1881 =-29<0,
o que indica que (-3,6) é ponto de máximo local de y=f(x).

Resposta

(a) (-6,3) e (6,-3)
(b) ponto crítico (-3,6)
(c) máximo local em (-3,6)

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