Mostre que se |u|=|v| então os vetores u+v e u-v são ortogonais.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, dados dois vetores u e v com igual comprimento ( |u| = |v|), os vetores u + v e u - v são ortogonais. O conteúdo principal aqui é produto escalar e a definição de ortogonalidade (dois vetores são ortogonais quando seu produto escalar é zero).

Passo 2

Lembrando que dois vetores a e b são ortogonais se, e somente se,
acdotb = 0
Então vamos calcular o produto escalar
;(u + v) cdot (u - v).

Passo 3

Usando a bilinearidade e comutatividade do produto escalar, fazemos:
(u + v) cdot (u - v) = ucdotu - ucdotv + vcdotu - vcdotv

Passo 4

Como ucdotv = vcdotu, os termos
-ucdotv + vcdotu se cancelam. Além disso, ucdotu = |u|^2 e vcdotv = |v|^2. Assim ficamos com
(u + v) cdot (u - v) = |u|^2 - |v|^2

Passo 5

Pela hipótese |u| = |v|, segue que
|u|^2 - |v|^2 = 0
Portanto
(u + v) cdot (u - v) = 0,
ou seja, u + v e u - v são ortogonais.

Resposta

Mostramos que (u + v) cdot (u - v) = 0, logo os vetores são ortogonais.

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