Mostre que se
então os vetores
e
são ortogonais.
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que, dados dois vetores
e
com igual comprimento (
), os vetores
e
são ortogonais. O conteúdo principal aqui é produto escalar e a definição de ortogonalidade (dois vetores são ortogonais quando seu produto escalar é zero).
Passo 2
Lembrando que dois vetores
e
são ortogonais se, e somente se,
Então vamos calcular o produto escalar
.
Passo 3
Usando a bilinearidade e comutatividade do produto escalar, fazemos:
Passo 4
Como
, os termos
se cancelam. Além disso,
e
. Assim ficamos com
Passo 5
Pela hipótese
, segue que
Portanto
ou seja,
e
são ortogonais.
Resposta
Mostramos que
, logo os vetores são ortogonais.