Seja uma função com derivadas parciais contínuas tal que , e . Sabendo-se que e ,
a) Verifique que a equação define como função de numa vizinhança de =(0,2)).
b) Determine em .

Passo 1

O enunciado apresenta a função composta
G(x,y)=Fl(u(x,y),v(x,y)r)
com u=x+y^2 e v=y+ysin x, e dá
F(4,2)=0, Fu(4,2)=1, Fv(4,2)=-3
Queremos usar o Teorema da Função Implícita para verificar se de G(x,y)=0 podemos definir y como função de x perto de (x0,y0)=(0,2), e em seguida calcular tfracdydx em x=0.

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de G em relação a y usando a regra da cadeia:
partial Gpartial y =Fu,partial upartial y+Fv,partial vpartial y
Aqui
partial upartial y=2y, partial vpartial y=1+sin x
No ponto (x0,y0)=(0,2) temos
u(0,2)=4, v(0,2)=2, partial upartial yg|(0,2)=4, partial vpartial yg|(0,2)=1
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partial Gpartial y|(0,2) =1cdot4+(-3)cdot1=4-3=1neq0

Passo 3

Como partial Gpartial y(0,2)neq0, pelo Teorema da Função Implícita existe uma função y=y(x) em torno de x=0 tal que G(x,y(x))=0. Assim a parte (a) está resolvida.

Passo 4

Para achar tfracdydx fazemos derivada implícita de G(x,y(x))=0:
dGdx =Fu,ux+Fv,vx + l(Fu,uy+Fv,vyr)dydx =0
Já calculamos Fu,uy+Fv,vy=1. Agora
ux=1, vx=ycos x
valem em (0,2):
ux(0,2)=1, vx(0,2)=2cos0=2
Então
Fu,ux+Fv,vx =1cdot1+(-3)cdot2=1-6=-5
Isolando tfracdydx:
dydx=-Fu,ux+Fv,vx Fu,uy+Fv,vy =--51=5

Resposta

(a) Sim, pois partial Gpartial y(0,2)=1neq0, garantindo a existência de y(x).
(b) dydxg|x=0=5.

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