Seja uma função com derivadas parciais contínuas tal que , e . Sabendo-se que e ,
a) Verifique que a equação define como função de numa vizinhança de =(0,2)).
b) Determine em .
Passo 1
O enunciado apresenta a função composta
com e , e dá
Queremos usar o Teorema da Função Implícita para verificar se de podemos definir como função de perto de , e em seguida calcular em .
Passo 2
Calculamos a derivada parcial de em relação a usando a regra da cadeia:
Como partial Gpartial y(0,2)neq0, pelo Teorema da Função Implícita existe uma função y=y(x) em torno de x=0 tal que G(x,y(x))=0. Assim a parte (a) está resolvida.
Passo 4
Para achar tfracdydx fazemos derivada implícita de G(x,y(x))=0:
dGdx =Fu,ux+Fv,vx + l(Fu,uy+Fv,vyr)dydx =0
Já calculamos Fu,uy+Fv,vy=1. Agora
ux=1, vx=ycos x
valem em (0,2):
ux(0,2)=1, vx(0,2)=2cos0=2
Então
Fu,ux+Fv,vx =1cdot1+(-3)cdot2=1-6=-5
Isolando tfracdydx:
dydx=-Fu,ux+Fv,vx Fu,uy+Fv,vy =--51=5
Resposta
(a) Sim, pois partial Gpartial y(0,2)=1neq0, garantindo a existência de y(x).
(b) dydxg|x=0=5.