Questão 4 [2.0 pontos] Utilizando a Regra de L’Hospital, calcular o
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando a regra de L’Hospital. O conteúdo é cálculo de limite de forma indeterminada
, então vamos derivar numerador e denominador até eliminar a indeterminação.
Passo 2
Primeiro, verificamos a forma indeterminada ao substituir
:
e
, logo temos
. Aplicando L’Hospital uma vez, derivamos:
- Numerador:
- Denominador:
O limite vira
que ainda é
, pois
e o denominador também tende a zero.
Passo 3
Aplicamos L’Hospital pela segunda vez:
- Numerador:
- Denominador: derivamos termo a termo:
Somando, o denominador fica
Portanto o limite passa a ser
Passo 4
Para
:
, logo o numerador tende a
.
No denominador, e
, então fica
.
Assim o limite é
No denominador,
Assim o limite é