Questão 4 [2.0 pontos] Utilizando a Regra de L’Hospital, calcular o lim x 0 sen^2(x)x-ln (1+x^2)-sen(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0sin^2(x),x-ln(1+x^2)-sin(x),
usando a regra de L’Hospital. O conteúdo é cálculo de limite de forma indeterminada tfrac00, então vamos derivar numerador e denominador até eliminar a indeterminação.

Passo 2

Primeiro, verificamos a forma indeterminada ao substituir x=0:
sin^2(0)=0 e 0-ln(1+0)-sin(0)=0, logo temos 0/0. Aplicando L’Hospital uma vez, derivamos:
  • Numerador: l(sin^2(x)r)' = 2,sin(x)cos(x) = sin(2x)
  • Denominador: ddxl[x - ln(1+x^2) - sin(x)r] = 1 - 2x1+x^2 - cos(x)
O limite vira
limxto0sin(2x),1 - 2x1+x^2 - cos(x),,
que ainda é 0/0, pois sin(2x)approx2x e o denominador também tende a zero.

Passo 3

Aplicamos L’Hospital pela segunda vez:
  • Numerador: l(sin(2x)r)' = 2cos(2x)
  • Denominador: derivamos termo a termo: ddxl(1r)=0, ddxl(-tfrac2x1+x^2r) =-2,1-x^2(1+x^2)^2, ddxl(-cos(x)r)=sin(x)
Somando, o denominador fica
sin(x); - ;2,1-x^2(1+x^2)^2
Portanto o limite passa a ser
limxto02cos(2x)sin(x)-2,1-x^2(1+x^2)^2

Passo 4

Para xto0:
cos(2x)to1, logo o numerador tende a 2.
No denominador, sen(x)to0 e 1-x^2(1+x^2)^2to1, então fica 0-2cdot1=-2.
Assim o limite é
2-2 = -1

Resposta

-1

Exercícios relacionados