Exercício 1.10. Determine se as séries convergem ou divergem.
12+25+cdots+nn^2+1+cdots

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^inftynn^2+1
converge ou diverge. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas, mais especificamente o teste de comparação assintótica (ou limite de comparação) com a série harmônica.

Passo 2

Definimos
an = nn^2+1
e comparamos com
bn = 1n,
pois sabemos que sum bn é a série harmônica, que diverge.

Passo 3

Calculamos o limite de comparação:
L = limntoinftyanbn = limntoinftynn^2+11n = limntoinftyn^2n^2+1 = 1

Passo 4

Como 0< L<infty e sum bn diverge, pelo teste de limite de comparação concluímos que sum an também diverge.

Resposta

A série sumn=1^inftynn^2+1 diverge.

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