Dê exemplo de funções f e g tais que
lim x p^+ f(x)=L, L neq 0,
lim x p^+ g(x)=0, mas lim x p^+ f(x)g(x) que existe.

Passo 1

O problema pede exemplos de duas funções f e g tais que, para um ponto p fixo e um número Lneq0, valham
limxto p^+f(x)=L, limxto p^+g(x)=0,
mas ainda assim o quociente limxto p^+f(x)g(x) exista (no sentido de limite estendido).

Passo 2

Uma escolha muito simples é tomar f constante igual a L e g que tende a zero de forma monótona. Por exemplo, defina para x>p:
f(x)=L, g(x)=x-p
Então claramente limxto p^+f(x)=L e limxto p^+g(x)=0.

Passo 3

Agora calculamos o quociente:
f(x)g(x) =L,x-p,
À medida que xto p^+, o denominador x-pto0^+, logo
limxto p^+L,x-p,=+infty
Esse limite existe no sentido de limite estendido (é um limite bem-definido, ainda que infinito).

Resposta

Um exemplo é
f(x)=L, g(x)=x-p,
pois
limxto p^+f(x)=Lneq0,limxto p^+g(x)=0,
e
limxto p^+f(x)g(x)=+infty

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