Dê exemplo de funções
e
tais que
,
, mas
que existe.
Passo 1
O problema pede exemplos de duas funções
e
tais que, para um ponto
fixo e um número
, valham
mas ainda assim o quociente
exista (no sentido de limite estendido).
Passo 2
Uma escolha muito simples é tomar
constante igual a
e
que tende a zero de forma monótona. Por exemplo, defina para
:
Então claramente
e
.
Passo 3
Agora calculamos o quociente:
À medida que
, o denominador
, logo
Esse limite existe no sentido de limite estendido (é um limite bem-definido, ainda que infinito).
Resposta
Um exemplo é
pois
e