Sabe-se que f é continua em 1 e que f(1)=2. Mostre que existe r>0 tal que para todo x in Df
1-r<x<1+r Rightarrow 32<f(x)<52

Passo 1

O enunciado afirma que f é contínua em 1 e que f(1)=2. Queremos mostrar que existe r>0 tal que, para todo xin Df,
1-r<x<1+rLongrightarrow 32<f(x)<52
Aqui vamos usar a definição varepsilon\nobreakdash-- de<a de continuidade no ponto 1.

Passo 2

Para obter a faixa 32<f(x)<52 em torno de f(1)=2, escolhemos
varepsilon=12
Isso garante que, se conseguirmos lvert f(x)-2rvert<12, então
-12 < f(x)-2 < 12\nobreakdash Rightarrow 32 < f(x) < 52

Passo 3

Pela continuidade de f em 1, existe de<a>0 tal que, sempre que
lvert x-1rvert<de<a,
segue-se
lvert f(x)-f(1)rvert < varepsilon = tfrac12
Definimos então r=de<a.

Passo 4

Finalmente, se xin Df e lvert x-1rvert<r, temos
lvert f(x)-2rvert<tfrac12,
isto é,
-tfrac12 < f(x)-2 < tfrac12Longrightarrow tfrac32 < f(x) < tfrac52

Resposta

Basta tomar qualquer r>0 associado a varepsilon=tfrac12 pela continuidade de f em 1. Então, sempre que 1-r<x<1+r, vale tfrac32<f(x)<tfrac52.

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