Se lim x a[f(x)+g(x)]=2 e lim x a[f(x)-g(x)]=1, encontre lim x a f(x) cdot g(x).
49. Se [x] denota a função maior inteiro, encontre lim x infty x[x].

Passo 1

Resumo do problema 1: temos
limxto a[f(x)+g(x)]=2 e limxto a[f(x)-g(x)]=1.
O conteúdo que vamos usar é a propriedade de limites de soma e diferença:
lim(f+g)=lim f+lim g e lim(f-g)=lim f-lim g.

Passo 2

Definimos
ellf=limxto af(x) e ellg=limxto ag(x).
Então pelo enunciado
ellf+ellg = 2,
ellf-ellg = 1

Passo 3

Resolvendo o sistema acima: somando as duas equações dá
2ellf = 3 Longrightarrow ellf = tfrac32
Subtraindo a segunda da primeira dá
2ellg = 1 Longrightarrow ellg = tfrac12

Passo 4

Para o limite do produto usamos que
lim(fg)=lim fcdotlim g,
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limxto af(x),g(x) = ellfcdotellg = tfrac32cdottfrac12 = tfrac34

Passo 5

Resumo do problema 2: calcular
limxtoinftyx[x],
sendo [x] o piso de x. Usamos que
[x]=x-x com 0<=x<1.

Passo 6

Reescrevendo
x[x] = xx-x = 11 - xx
Como 0<=x<1, temos 0<=xx<1x. Quando xtoinfty,
tfracxxto0,
então
tfracx[x]totfrac11-0=1.

Resposta

tfrac34
1

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