(O logaritmo como transformação e sua inversa, propriedades do logaritmo) Mostre que log (-1)=(2 k+1) pi i e log i=4 k+12 pi i, k=0, pm 1, pm 2, ldots

Passo 1

O enunciado pede as formas gerais de log(-1) e log(i) no sentido da função logaritmo complexo, que é multivalorada. Vamos usar que, para zneq0 escrito em forma polar como
z = r e^itheta,
temos
log z = ln r + i(theta + 2pi k),
onde kinZ.

Passo 2

Definindo e escolhendo um argumento qualquer tal que , a parte real do logaritmo é e a parte imaginária é o argumento ampliado por . Portanto,

Passo 3

Para temos e um argumento fundamental , logo
com . Daí

Passo 4

Para temos e , portanto
com . Assim

Resposta

log(-1) = (2k+1),pi,i, log(i) = 4k+12,pi,i, k=0,pm1,pm2,dots

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