Seja (A,+, cdot) um anel com unidade 1. Definimos em A duas novas operações dadas por:
a oplus b=a+b+1 a odot b=a b+a+b
a. Mostre que (A, oplus, odot) é um anel com unidade.
b. Qual o elemento neutro de (A, oplus) ?
c. Qual o elemento unidade de (A, oplus, odot) ?
d. Mostre que se A é um anel comutativo então (A, oplus, odot) é também um anel comutativo.

Passo 1

O enunciado define em um anel com unidade (A,+,cdot) duas operações novas:
aoplus b = a + b + 1,
aodot b = acdot b + a + b
O que precisamos fazer é verificar que com essas operações (A,oplus,odot) satisfaz as propriedades de um anel com unidade, achar o neutro de oplus, achar a unidade de odot e, por fim, mostrar que se A é comutativo então o novo também é.

Passo 2

Vamos mostrar que (A,oplus) é um grupo abeliano. Primeiro a associatividade:
Tomemos a,b,cin A. Então
(aoplus b)oplus c = (a+b+1) + c + 1 = a + b + c + 2
e
aoplus(boplus c) = a + (b+c+1) + 1 = a + b + c + 2
Logo são iguais e oplus é associativa. A comutatividade vem de a+b=b+a em A.

Passo 3

Agora o neutro e o inverso em (A,oplus). Para o neutro e precisamos de
aoplus e = a Longrightarrow a + e + 1 = a Longrightarrow e = -1
Portanto o neutro de oplus é -1. Para o inverso de um a, chamemos a', queremos
aoplus a' = -1 Longrightarrow a + a' + 1 = -1 Longrightarrow a' = -a - 2
Assim cada a tem inverso em A, e (A,oplus) é grupo abeliano.

Passo 4

Agora mostramos que odot é associativa e distribui sobre oplus. Para associatividade, tome a,b,cin A:
(aodot b)odot c = l(a b + a + br)odot c = (a b + a + b)c + (a b + a + b) + c
= a b c + a c + b c + a b + a + b + c
Do outro lado,
aodot(bodot c) = aodot(b c + b + c) = a(b c + b + c) + a + (b c + b + c)
= a b c + a b + a c + a + b c + b + c
Os termos coincidem, logo é associativo. A distributividade esquerda e direita seguem expandindo de modo análogo usando a distributividade em (A,+,cdot).

Passo 5

Para achar a unidade de (A,oplus,odot), ou seja o u tal que
aodot u = a e uodot a = a,
basta resolver
aodot u = a u + a + u = a Longrightarrow a u + u + a = a Longrightarrow u(a+1)=0
Como isso deve valer para todo a em A, a única solução é u=0 (o zero de A). De fato,
aodot 0 = acdot 0 + a + 0 = a,
e idem à direita. Assim a unidade de odot é 0.

Passo 6

Por fim, se A é comutativo então em todas as contas acima que usam a comutatividade de + e de cdot pode-se trocar fatores sem alterar o resultado, logo tanto oplus quanto odot serão também comutativos. Assim (A,oplus,odot) é anel comutativo.

Resposta

O elemento neutro de (A,oplus) é -1 e a unidade de (A,oplus,odot) é 0. Se A é comutativo então (A,oplus,odot) também é comutativo.

Exercícios relacionados