Seja
um anel com unidade 1. Definimos em
duas novas operações dadas por:
a. Mostre que
é um anel com unidade.
b. Qual o elemento neutro de
?
c. Qual o elemento unidade de
?
d. Mostre que se
é um anel comutativo então
é também um anel comutativo.
b. Qual o elemento neutro de
c. Qual o elemento unidade de
d. Mostre que se
Passo 1
O enunciado define em um anel com unidade
duas operações novas:
O que precisamos fazer é verificar que com essas operações
satisfaz as propriedades de um anel com unidade, achar o neutro de
, achar a unidade de
e, por fim, mostrar que se
é comutativo então o novo também é.
Passo 2
Vamos mostrar que
é um grupo abeliano. Primeiro a associatividade:
Tomemos
. Então
e
Logo são iguais e
é associativa. A comutatividade vem de
em
.
Passo 3
Agora o neutro e o inverso em
. Para o neutro
precisamos de
Portanto o neutro de
é
. Para o inverso de um
, chamemos
, queremos
Assim cada
tem inverso em
, e
é grupo abeliano.
Passo 4
Agora mostramos que
é associativa e distribui sobre
. Para associatividade, tome
:
Do outro lado,
Os termos coincidem, logo é associativo. A distributividade esquerda e direita seguem expandindo de modo análogo usando a distributividade em
.
Passo 5
Para achar a unidade de
, ou seja o
tal que
basta resolver
Como isso deve valer para todo
em
, a única solução é
(o zero de
). De fato,
e idem à direita. Assim a unidade de
é
.
Passo 6
Por fim, se
é comutativo então em todas as contas acima que usam a comutatividade de
e de
pode-se trocar fatores sem alterar o resultado, logo tanto
quanto
serão também comutativos. Assim
é anel comutativo.
Resposta
O elemento neutro de
é
e a unidade de
é
. Se
é comutativo então
também é comutativo.