EXERCÍCIO 1
a) Calcule a Somma de Riemann para
no intervalo
admitindo que o número de partições é 10 .
b) Determine
.
b) Determine
Passo 1
Então, vamos resolver o Exercício 1, que tem duas partes. Na primeira parte (a), precisamos calcular a Soma de Riemann para a função
no intervalo de
, dividindo esse intervalo em 10 partições. Na segunda parte (b), vamos determinar a integral definida dessa mesma função nesse mesmo intervalo.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é Soma de Riemann e como calcular integrais definidas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma Soma de Riemann. Basicamente, é uma forma de aproximar a área sob uma curva, dividindo o intervalo em pequenos pedaços (partições), calculando a área de retângulos em cada pedaço e somando todas essas áreas. Quanto mais partições tivermos, mais precisa será a aproximação.
No nosso caso, temos a função
no intervalo
com 10 partições.
Passo 3
Vamos calcular o comprimento de cada partição. Como o intervalo é de 0 a 5 e temos 10 partições, cada uma terá um comprimento de:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os pontos onde vamos avaliar a função. Vamos usar os pontos à direita de cada subintervalo para calcular a soma de Riemann. Então, os pontos
serão:
Ou seja:
Passo 5
Vamos agora avaliar a função nesses pontos:
Calculando para cada
:
Passo 6
Com todas as avaliações feitas, a Soma de Riemann usando pontos à direita fica:
Substituindo os valores:
Somando todos os
:
Passo 7
Agora, vamos para a parte b, onde precisamos calcular a integral definida da função
de 0 a 5.
Para isso, vamos encontrar uma antiderivada de
.
A antiderivada de
é
e a antiderivada de
é
.
Então:
Como estamos calculando uma integral definida, podemos ignorar a constante
.
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 5:
Calculando:
Então:
Resposta
a) A Soma de Riemann para
no intervalo
com 10 partições é 60.
b) A integral definida de
de 0 a 5 é aproximadamente 66,67.