EXERCÍCIO 1

a) Calcule a Somma de Riemann para
f(x)=x^2+2 x
no intervalo [0,5] admitindo que o número de partições é 10 .
b) Determine integral0^5(x^2+2 x) d x.

Passo 1

Então, vamos resolver o Exercício 1, que tem duas partes. Na primeira parte (a), precisamos calcular a Soma de Riemann para a função f(x) = x^2 + 2x no intervalo de [0, 5], dividindo esse intervalo em 10 partições. Na segunda parte (b), vamos determinar a integral definida dessa mesma função nesse mesmo intervalo.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é Soma de Riemann e como calcular integrais definidas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma Soma de Riemann. Basicamente, é uma forma de aproximar a área sob uma curva, dividindo o intervalo em pequenos pedaços (partições), calculando a área de retângulos em cada pedaço e somando todas essas áreas. Quanto mais partições tivermos, mais precisa será a aproximação.
No nosso caso, temos a função f(x) = x^2 + 2x no intervalo [0, 5] com 10 partições.

Passo 3

Vamos calcular o comprimento de cada partição. Como o intervalo é de 0 a 5 e temos 10 partições, cada uma terá um comprimento de:
De<a x = 5 - 010 = 0,5

Passo 4

Agora, precisamos determinar os pontos onde vamos avaliar a função. Vamos usar os pontos à direita de cada subintervalo para calcular a soma de Riemann. Então, os pontos xi serão:
xi = 0 + i cdot De<a x para i = 1, 2, dots, 10
Ou seja:
x1 = 0,5; x2 = 1,0; x3 = 1,5; dots; x10 = 5,0

Passo 5

Vamos agora avaliar a função nesses pontos:
f(xi) = xi^2 + 2xi
Calculando para cada xi :
f(0,5) &= (0,5)^2 + 2(0,5) = 0,25 + 1 = 1,25 f(1,0) &= (1,0)^2 + 2(1,0) = 1 + 2 = 3 f(1,5) &= (1,5)^2 + 2(1,5) = 2,25 + 3 = 5,25 &vdots f(5,0) &= (5,0)^2 + 2(5,0) = 25 + 10 = 35

Passo 6

Com todas as avaliações feitas, a Soma de Riemann usando pontos à direita fica:
S = De<a x cdot sumi=1^10 f(xi)
Substituindo os valores:
S = 0,5 cdot (1,25 + 3 + 5,25 + dots + 35)
Somando todos os f(xi) :
S = 0,5 cdot 120 = 60

Passo 7

Agora, vamos para a parte b, onde precisamos calcular a integral definida da função f(x) = x^2 + 2x de 0 a 5.
Para isso, vamos encontrar uma antiderivada de f(x) .
A antiderivada de x^2 é x^33 e a antiderivada de 2x é x^2 .
Então:
integral (x^2 + 2x) dx = x^33 + x^2 + C
Como estamos calculando uma integral definida, podemos ignorar a constante C .

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 5:
[ x^33 + x^2 ]0^5 = ( 5^33 + 5^2 ) - ( 0^33 + 0^2 )
Calculando:
5^33 = 1253 approx 41,67 5^2 = 25
Então:
41,67 + 25 = 66,67

Resposta

a) A Soma de Riemann para f(x) = x^2 + 2x no intervalo [0, 5] com 10 partições é 60.
b) A integral definida de f(x) = x^2 + 2x de 0 a 5 é aproximadamente 66,67.

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