Exemplo 5. Uma linha de transmissão de baixas perdas tem impedância característica quase real e com o valor de 75 \Omega e um comprimento de 68 metros. Na frequência de 100 MHz , seu fator de atenuação é de 0,01 \mathrm{~Np} / \mathrm{m} e o fator de fase é de 3,25 \mathrm{rad} / \mathrm{m}. Em sua extremidade, essa linha é terminada com uma impedância de carga de ( 38 - i45) \Omega e sobre ela é medida uma tensão eficaz de 80 L 25 o volts. (a) Achar o coeficiente de reflexão na carga. (b) Encontrar a primeira distância de tensão mínima e a primeira distância de tensão máxima a contar da carga. (c) Obter o valor da primeira tensão máxima e o valor da primeira tensão mínima na linha. (d) Achar a tensão e a corrente na entrada da linha.

Passo 1

O enunciado trata de uma linha de transmissão com perdas, de impedância característica \,Z_0=75\:\Omega, e constantes \alpha=0,01\:\mathrm{Np/m}, \beta=3,25\:\mathrm{rad/m}, comprimento L=68\:\mathrm{m}, terminada em \,Z_L=38 - j45\:\Omega. Foi medida na carga uma tensão eficaz V_L=80\angle25^\circ\:\mathrm{V}.
Conteúdo: coeficiente de reflexão, posições de máximos e mínimos de tensão, amplitudes dos extremos e tensões e correntes na entrada. Vamos usar as fórmulas padrão de linha com atenuação.

Passo 2

Cálculo do coeficiente de reflexão na carga:
\Gamma_L = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} = \frac{(38 - j45)-75}{(38 - j45)+75} = \frac{-37 - j45}{113 - j45}.
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de 113 - j45, obtemos
\Gamma_L = -0,1457 - j0,4565 \quad\Longrightarrow\quad |\Gamma_L|=0,479,\quad \arg\Gamma_L=-107{,}8^\circ.

Passo 3

Posições da primeira tensão máxima e mínima a partir da carga (linha medida para z>0 no sentido do gerador). Em linha com perdas, aproximamos pelas fórmulas da linha sem perdas:
z_{\max,1} = -\frac{\arg\Gamma_L}{2\beta} = -\frac{-1{,}883}{2\cdot3{,}25}=0{,}290\:\mathrm{m},
z_{\min,1} = \frac{\pi - \arg\Gamma_L}{2\beta} = \frac{3{,}142 -(-1{,}883)}{2\cdot3{,}25}=0{,}774\:\mathrm{m}.

Passo 4

Primeiro encontramos a amplitude da onda incidente \,V^+. Na carga,
V_L = V^+(1+\Gamma_L) \quad\Longrightarrow\quad |V^+| = \frac{|V_L|}{|1+\Gamma_L|} = \frac{80}{0,9686}=82{,}6\:\mathrm{V}.
As amplitudes no ponto z são
|V|_{\max,1} = |V^+|\bigl(1 + |\Gamma_L|e^{-2\alpha z_{\max,1}}\bigr), \quad |V|_{\min,1} = |V^+|\bigl(1 - |\Gamma_L|e^{-2\alpha z_{\min,1}}\bigr).
Substituindo:
e^{-2\alpha z_{\max,1}}=e^{-2\cdot0,01\cdot0,290}=0,9942, \quad e^{-2\alpha z_{\min,1}}=0,9846,
|V|_{\max,1}=82{,}6\,(1+0,479\cdot0,9942)=121{,}9\:\mathrm{V}, \quad |V|_{\min,1}=82{,}6\,(1-0,479\cdot0,9846)=43{,}6\:\mathrm{V}.

Passo 5

Tensão e corrente na entrada ( z=L). Definimos \gamma=\alpha+j\beta=0,01+j3,25 e calculamos
V^+ = 82{,}6\angle52{,}7^\circ\:\mathrm{V}, \quad \gamma L = 0,68 + j221{,}0.
Então
e^{-\gamma L}=0,5066\angle-63{,}1^\circ, \quad \Gamma_L\,e^{2\gamma L} =1{,}87\angle35{,}2^\circ,
V_{\rm in} =V^+\,e^{-\gamma L}\bigl(1+\Gamma_L e^{2\gamma L}\bigr) =41{,}9\angle-10{,}4^\circ\;\times\;2{,}75\angle23{,}1^\circ =115{,}2\angle12{,}7^\circ\:\mathrm{V},
I_{\rm in} =\frac{V^+\,e^{-\gamma L}}{Z_0}\bigl(1-\Gamma_L e^{2\gamma L}\bigr) =\frac{41{,}9\angle-10{,}4^\circ}{75}\times1{,}203\angle243{,}8^\circ =0{,}672\angle-126{,}6^\circ\:\mathrm{A}.

Resposta

(a) \displaystyle \Gamma_L =0,479\angle -107{,}8^\circ.\n
(b) z_{\max,1}=0{,}290\:\mathrm{m},\quad z_{\min,1}=0{,}774\:\mathrm{m}.\n
(c) |V|_{\max,1}=121{,}9\:\mathrm{V},\quad |V|_{\min,1}=43{,}6\:\mathrm{V}.\n
(d) V_{\rm in}=115{,}2\angle12{,}7^\circ\:\mathrm{V},\quad I_{\rm in}=0{,}672\angle-126{,}6^\circ\:\mathrm{A}.

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