Exemplo 8. Uma linha de transmissão tem impedância característica de 100 \Omega com parte imaginária muito pequena e que pode ser desconsiderada. Essa linha opera em 80 MHz , tem um comprimento total de 58 m e perda de 3 dB a cada 100 metros. O dielétrico empregado é responsável por um fator de velocidade de 3 / 4. Em sua extremidade, foi ligada uma impedância de carga com o valor de (30-\mathrm{i} 40) \Omega, sobre a qual se mediu uma tensão de 100 \mathrm{~L} 60^{\circ} \mathrm{V}. Determinar o coeficiente de reflexão na carga e o valor resultante na entrada da linha, a tensão incidente e a tensão refletida na carga. Em seguida, encontrar a potência na entrada da linha e a potência na carga, a potência dissipada na linha, a atenuação total na linha, a perda por reflexão e a perda de retorno na carga.

Passo 1

O enunciado trata de uma linha de transmissão com impedância característica Z_0=100\\ \Omega praticamente puramente resistiva, de comprimento l=58\\ \mathrm{m}, perda de 3\\ \mathrm{dB} a cada 100\\ \mathrm{m} e fator de velocidade v_\mathrm{f}=3/4. Na carga está ligada uma impedância Z_L=30-\mathrm{i}40\\ \Omega e a tensão resultante medida na carga é V_L=100\angle 60^\circ\\ \mathrm{V}.
Conteúdo: coeficiente de reflexão, ondas incidente e refletida, cálculos de potência, atenuação e perdas. Precisaremos de fórmulas de linha sem perdas dispersivas e conversão dB\leftrightarrow Np.

Passo 2

Calcular o coeficiente de reflexão na carga
\Gamma_L = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} = \frac{(30 - j40)-100}{(30 - j40)+100} = \frac{-70 - j40}{130 - j40}.
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado 130 + j40 e simplificando, obtém-se
\Gamma_L = -0,4054 - j\,0,4324 \quad\Longrightarrow\quad |\Gamma_L|=0,593,\quad\angle\Gamma_L=-133,1^\circ.

Passo 3

Determinar as tensões incidente e refletida na carga a partir de
V_L = V^+ + V^-, \quad V^- = \Gamma_L\,V^+.
Logo
V^+ = \frac{V_L}{1+\Gamma_L} = \frac{100\angle60^\circ}{0,5946 - j\,0,4324} =136,1\angle96,4^\circ\\ \mathrm{V},
V^- = \Gamma_L\,V^+ =0,593\angle(-133,1^\circ)\times136,1\angle96,4^\circ =80,7\angle(-36,7^\circ)\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Determinar coeficiente de reflexão na entrada da linha
– Atenuação em Np/m: \alpha_\mathrm{dB}=3/100\\ \mathrm{dB/m}\Rightarrow \alpha=(3/100)/8,686=0,003455\\ \mathrm{Np/m}.
– Constante de fase: v= c\,\tfrac34=2{,}25\times10^8\\ \mathrm{m/s}, \lambda=v/f=2{,}8125\\ \mathrm{m}, \beta=2\pi/\lambda=2,234\\ \mathrm{rad/m}.
\alpha l=0,003455\times58=0,2004\\ \mathrm{Np},\quad 2\beta l=2\times2,234\times58=259{,}2\\ \mathrm{rad}=83{,}7^\circ.
\Gamma_\text{in} = \Gamma_L\,e^{-2\gamma l} =\Gamma_L\,e^{-2\alpha l}\,e^{-j2\beta l} =0,593\angle(-133,1^\circ)\times0,670\angle(-83,7^\circ) =0,398\angle143,2^\circ.

Passo 5

Determinar tensões incidente e refletida na entrada
Como a onda incidente se atenua de entrada até a carga por e^{-\alpha l}, invertendo,
V^+_\text{in} = V^+\,e^{+\alpha l} =136{,}1\times e^{0,2004}=166,3\\ \mathrm{V},
V^-_\text{in} = V^-\,e^{-\alpha l} =80,7\times e^{-0,2004}=66,0\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Calcular potências (refletidas e incidentes em cada ponto)
Em linha sem perdas reativas, potência de onda é |V|^2/(2Z_0):
P^+_\text{in}=\frac{|V^+_\text{in}|^2}{2Z_0} =\frac{166,3^2}{2\cdot100}=138,4\\ \mathrm{W},
P^-_\text{in}=\frac{|V^-_\text{in}|^2}{2Z_0} =\frac{66,0^2}{200}=21,8\\ \mathrm{W}.
Na carga:
P^+_L=\frac{136,1^2}{200}=92,6\\ \mathrm{W}, \quad P^-_L=\frac{80,7^2}{200}=32,5\\ \mathrm{W},
P_\text{carga}=P^+_L-P^-_L=60,0\\ \mathrm{W}.
Potência dissipada na linha é a diferença entre o que entra e o que chega à carga:
P_\text{dissip.}=(P^+_\text{in}-P^-_\text{in})-P_\text{carga} = (138,4-21,8)-60,0=56,6\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Calcular atenuações e perdas em dB
– Atenuação total da linha:
\text{Atenuação} =3\\ \frac{\mathrm{dB}}{100\mathrm{m}}\times58\mathrm{m}=1,74\\ \mathrm{dB}.çã
– Perda por desadaptação (mismatch loss):
\text{ML} = -10\log_{10}(1-|\Gamma_L|^2) =-10\log_{10}(1-0,593^2)=1,87\\ \mathrm{dB}.
– Perda de retorno (return loss):
\text{RL} = -20\log_{10}|\Gamma_L| =-20\log_{10}(0,593)=4,54\\ \mathrm{dB}.

Resposta

\displaystyle \Gamma_L=0,593\angle(-133,1^\circ) \displaystyle \Gamma_\text{in}=0,398\angle143,2^\circ \displaystyle V^+=136,1\angle96,4^\circ\\ \mathrm{V} \displaystyle V^-=80,7\angle(-36,7^\circ)\\ \mathrm{V} \displaystyle V^+_\text{in}=166,3\\ \mathrm{V},\quad V^-_\text{in}=66,0\\ \mathrm{V} \displaystyle P_\text{in}=138,4\\ \mathrm{W},\quad P_\text{carga}=60,0\\ \mathrm{W},\quad P_\text{dissip.}=56,6\\ \mathrm{W} \displaystyle \text{Atenuação total}=1,74\\ \mathrm{dB} \displaystyle \text{Perda por desadaptação}=1,87\\ \mathrm{dB} \displaystyle \text{Perda de retorno}=4,54\\ \mathrm{dB}çãçã

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