Simplifique as expressões abaixo:
\frac{x^{4}-2 x^{3}+x^{2}-2 x}{x^{4}-4 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
\frac{x^{4} - 2x^{3} + x^{2} - 2x}{x^{4} - 4x^{2}}
O conteúdo envolvido é fatoração de polinômios e cancelamento de fatores comuns em frações algébricas.

Passo 2

Vamos fatorar o numerador por agrupamento. Separe em dois grupos:
x^{4} - 2x^{3} + x^{2} - 2x = (x^{4} - 2x^{3}) + (x^{2} - 2x).
Em cada grupo, fatoramos o maior fator comum:
x^{3}(x - 2) + x\,(x - 2) = (x - 2)\bigl(x^{3} + x\bigr).
Por fim, observe que x^{3} + x = x\,(x^{2} + 1). Logo,
\text{numerador} = x\,(x^{2} + 1)\,(x - 2).

Passo 3

Agora fatoramos o denominador:
x^{4} - 4x^{2} = x^{2}\bigl(x^{2} - 4\bigr).
E como x^{2}-4 = (x-2)(x+2), temos
\text{denominador} = x^{2}\,(x-2)\,(x+2).

Passo 4

A fração original fica
\frac{x\,(x^{2} + 1)\,(x - 2)}{x^{2}\,(x - 2)\,(x + 2)}.
Podemos cancelar o fator (x - 2) e simplificar um x de cima com um de baixo:
\frac{x^{2} + 1}{x\,(x + 2)}.
Lembrando que, na fração original, devemos ter x\neq 0, x\neq 2 e x\neq -2 para não anular o denominador.

Resposta

\frac{x^{2} + 1}{x\,(x + 2)},\quad x\neq -2,0,2.

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