Simplifique as expressões abaixo:
\frac{x^{6}+8 x^{4}+2 x^{2}+16}{x^{5}+2 x}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração
\frac{x^{6}+8x^{4}+2x^{2}+16}{x^{5}+2x}.
O conteúdo envolve fatoração de polinômios e cancelamento de fatores comuns.

Passo 2

Fatoramos o denominador extraindo x de x^{5}+2x:
x^{5}+2x = x\,(x^{4}+2).

Passo 3

Para fatorar o numerador x^{6}+8x^{4}+2x^{2}+16, usamos fatoração por agrupamento. Agrupamos em dois pares:
x^{6}+8x^{4} = x^{4}(x^{2}+8), \qquad 2x^{2}+16 = 2(x^{2}+8).
Então
x^{6}+8x^{4}+2x^{2}+16 = x^{4}(x^{2}+8) + 2(x^{2}+8) = (x^{4}+2)(x^{2}+8).

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração original e cancelando o fator comum x^{4}+2, obtemos
\frac{(x^{4}+2)(x^{2}+8)}{x\,(x^{4}+2)} = \frac{x^{2}+8}{x}, \quad x\neq 0.

Resposta

\frac{x^{2}+8}{x}.

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