Dê um exemplo de matriz de coeficientes, A, com pelo menos 2 linhas e 2 colunas, tal que o sistema de equações lineares A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} tenha:
1 solução, independentemente de \boldsymbol{b}.
Passo 1
O problema pede um exemplo de matriz A de tamanho pelo menos 2\times2 tal que o sistema A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} tenha exatamente uma solução para todo vetor \boldsymbol{b}. O conteúdo envolvido é a condição de existência e unicidade de solução em sistemas lineares, que está ligada ao fato de A ser invertível (ter determinante não nulo).
Passo 2
Sabemos que, para uma matriz quadrada A, ter uma e só uma solução para cada \boldsymbol{b} equivale a A ser invertível. Em termos práticos:
\det(A)\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad \text{\(A\) é invertível} \quad\Longrightarrow\quad \boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}\ \text{é a única solução.}
Passo 3
Basta então escolher qualquer matriz quadrada com determinante diferente de zero. Um exemplo simples é a matriz identidade de ordem 2:
A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
Nesse caso \det(A)=1\neq 0, logo A é invertível e A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} terá solução única \boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}, seja qual for \boldsymbol{b}.
Resposta
Um exemplo de matriz é
A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix},
que satisfaz \det(A)=1\neq0 e, portanto, garante exatamente uma solução para qualquer vetor \boldsymbol{b}.