(2.0 ptos) Seja B=\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{m}\right\} um conjunto ortonormal do espaço vetorial V com \operatorname{dim}(V)=n. Consideremos v \in V e denotemos c_{k}=C F_{v_{k}}(v) o coeficiente de Fourier de v em v_{k}.
Mostrar que
\sum_{k=1}^{m}\left(c_{k}\right)^{2} \leq\|v\|^{2} \quad \text { (Desigualdade de Besel) }
Além disso, se m=n, ou seja se B for uma base ortonormal temos a igualdade:
\sum_{k=1}^{n}\left(c_{k}\right)^{2}=\|v\|^{2} \quad \text { (Igualdade de Parseval) }

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial V de dimensão n e um conjunto ortonormal
B = \{v_{1},v_{2},\dots,v_{m}\},
com m\le n. Para um vetor qualquer v\in V, definimos os coeficientes de Fourier
c_{k} = \langle v,\,v_{k}\rangle,
que são justamente as projeções de v em cada v_{k}. Nosso objetivo é mostrar primeiro a Desigualdade de Bessel
\sum_{k=1}^{m}c_{k}^{2}\;\le\;\|v\|^{2},
e em seguida observar que, se m=n, temos a Igualdade de Parseval
\sum_{k=1}^{n}c_{k}^{2} \;=\;\|v\|^{2}.

Passo 2

Definimos o vetor
P \;=\;\sum_{k=1}^{m} c_{k}\,v_{k}.
Esse vetor P é a projeção ortogonal de v no subespaço M=\mathrm{span}\{v_{1},\dots,v_{m}\}.

Passo 3

Mostramos que v-P é ortogonal a todo v_{j}\in B. Para cada j=1,\dots,m,
\langle v-P,\,v_{j}\rangle =\langle v,\;v_{j}\rangle \;-\;\sum_{k=1}^{m}c_{k}\,\langle v_{k},v_{j}\rangle =c_{j}-\sum_{k=1}^{m}c_{k}\,\delta_{kj} =c_{j}-c_{j} =0.
Logo v-P\perp M.

Passo 4

Pelo Teorema de Pitágoras em V, escrevemos
\|v\|^{2} =\|P\|^{2}+\|v-P\|^{2} \;\ge\;\|P\|^{2}.
Mas, como os v_{k} são ortonormais,
\|P\|^{2} =\Big\|\sum_{k=1}^{m}c_{k}v_{k}\Big\|^{2} =\sum_{k=1}^{m}c_{k}^{2}.
Daí vem imediatamente a Desigualdade de Bessel:
\sum_{k=1}^{m}c_{k}^{2}\le\|v\|^{2}.

Passo 5

Se m=n, então B é uma base ortonormal de V e M=V. Isso força v-P=0, de modo que
\|v\|^{2} =\|P\|^{2} =\sum_{k=1}^{n}c_{k}^{2},
obtendo-se a Igualdade de Parseval.

Resposta

A Desigualdade de Bessel é
\sum_{k=1}^{m}c_{k}^{2}\le\|v\|^{2},
e, no caso m=n, a Igualdade de Parseval é
\sum_{k=1}^{n}c_{k}^{2}=\|v\|^{2}.

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