(2.0 ptos) Seja B=\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{m}\right\} um conjunto ortonormal do espaço vetorial V com \operatorname{dim}(V)=n. Consideremos v \in V e denotemos c_{k}=C F_{v_{k}}(v) o coeficiente de Fourier de v em v_{k}.
Mostrar que
\sum_{k=1}^{m}\left(c_{k}\right)^{2} \leq\|v\|^{2} \quad \text { (Desigualdade de Besel) }
Além disso, se m=n, ou seja se B for uma base ortonormal temos a igualdade:
\sum_{k=1}^{n}\left(c_{k}\right)^{2}=\|v\|^{2} \quad \text { (Igualdade de Parseval) }
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial V de dimensão n e um conjunto ortonormal
B = \{v_{1},v_{2},\dots,v_{m}\},
com m\le n. Para um vetor qualquer v\in V, definimos os coeficientes de Fourier
c_{k} = \langle v,\,v_{k}\rangle,
que são justamente as projeções de v em cada v_{k}. Nosso objetivo é mostrar primeiro a Desigualdade de Bessel
\sum_{k=1}^{m}c_{k}^{2}\;\le\;\|v\|^{2},
e em seguida observar que, se m=n, temos a Igualdade de Parseval
\sum_{k=1}^{n}c_{k}^{2} \;=\;\|v\|^{2}.
Passo 2
Definimos o vetor
P \;=\;\sum_{k=1}^{m} c_{k}\,v_{k}.
Esse vetor P é a projeção ortogonal de v no subespaço M=\mathrm{span}\{v_{1},\dots,v_{m}\}.
Passo 3
Mostramos que v-P é ortogonal a todo v_{j}\in B. Para cada j=1,\dots,m,