Dê um exemplo de matriz A2 times 2, tal que: 1) ai j neq 0, para qualquer i, j ; 2) A^2 é uma matriz diagonal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer que a gente encontre uma matriz A de dimensão 2 times 2 onde todos os elementos são diferentes de zero e, quando a gente multiplica essa matriz por ela mesma ( A^2), o resultado seja uma matriz diagonal (ou seja, só tenha números na diagonal principal e zeros fora dela). Para resolver isso, vamos usar um pouco de multiplicação de matrizes e entender algumas condições específicas que a matriz A precisa satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a matriz A de forma geral:
A = a & b c & d
Aqui, a, b, c e d são números diferentes de zero (como a condição 1 exige).

Passo 3

Agora, vamos calcular o quadrado dessa matriz, A^2, que é a multiplicação de A por ela mesma:
A^2 = A times A = a & b c & d a & b c & d = a^2 + bc & ab + bd ac + dc & bc + d^2

Passo 4

Para que A^2 seja uma matriz diagonal, os termos que estão fora da diagonal principal (ou seja, ab + bd e ac + dc) precisam ser iguais a zero. Assim, temos duas equações:
  1. ab + bd = 0
  2. ac + dc = 0

Passo 5

Vamos resolver essas equações. Como b e c são diferentes de zero, podemos fatorar:
  1. ab + bd = b(a + d) = 0 a + d = 0
  2. ac + dc = c(a + d) = 0 a + d = 0
Isso nos mostra que d deve ser igual a -a.

Passo 6

Agora que sabemos que d = -a, podemos escolher qualquer valor para a (desde que seja diferente de zero) e definir d de acordo. Vamos escolher valores simples para facilitar:
  • Seja a = 1, então d = -1.
  • Vamos também escolher b = 1 e c = 1 (todos diferentes de zero).
Assim, nossa matriz A fica:
A = 1 & 1 1 & -1

Resposta

Um exemplo de matriz que satisfaz as condições é:
A = 1 & 1 1 & -1

Exercícios relacionados