Dê um exemplo de matriz
, tal que: 1)
, para qualquer
é uma matriz diagonal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão quer que a gente encontre uma matriz
de dimensão
onde todos os elementos são diferentes de zero e, quando a gente multiplica essa matriz por ela mesma (
), o resultado seja uma matriz diagonal (ou seja, só tenha números na diagonal principal e zeros fora dela). Para resolver isso, vamos usar um pouco de multiplicação de matrizes e entender algumas condições específicas que a matriz
precisa satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a matriz
de forma geral:
Aqui,
,
,
e
são números diferentes de zero (como a condição 1 exige).
Passo 3
Agora, vamos calcular o quadrado dessa matriz,
, que é a multiplicação de
por ela mesma:
Passo 4
Para que
seja uma matriz diagonal, os termos que estão fora da diagonal principal (ou seja,
e
) precisam ser iguais a zero. Assim, temos duas equações:
Passo 5
Vamos resolver essas equações. Como
e
são diferentes de zero, podemos fatorar:
-
⟹ -
⟹
Isso nos mostra que
deve ser igual a
.
Passo 6
Agora que sabemos que
, podemos escolher qualquer valor para
(desde que seja diferente de zero) e definir
de acordo. Vamos escolher valores simples para facilitar:
- Seja
, então . - Vamos também escolher
e (todos diferentes de zero).
Assim, nossa matriz
fica:
Resposta
Um exemplo de matriz que satisfaz as condições é: