Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear dada por
T(x, y, z)=(x-z, y-z, x-y)
A transformação T é sobrejetora? Justifique.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para verificar se a transformação linear T: R^3 R^3 , definida por
T(x, y, z) = (x - z, y - z, x - y)
é sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser sobrejetora e utilizar conceitos de álgebra linear relacionados a transformações lineares e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação sobrejetora. Uma transformação T: V W é sobrejetora se para todo vetor w em W , existe pelo menos um vetor v em V tal que T(v) = w . Em outras palavras, a transformação “atinge” todo o espaço de chegada W .

Passo 3

Para verificar se T é sobrejetora, precisamos ver se para qualquer vetor (a, b, c) em R^3 , conseguimos encontrar valores de x, y, z em R que satisfaçam as equações:
x - z = a y - z = b x - y = c

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para x, y, z . Começamos pelas duas primeiras equações:
  1. x = a + z \
  2. y = b + z
Substituímos essas expressões na terceira equação:
(a + z) - (b + z) = c
Simplificando:
a - b = c

Passo 5

A equação a - b = c nos mostra uma condição para que o sistema tenha solução. Isso significa que para que exista x, y, z que satisfaçam todas as três equações, os coeficientes a, b, c devem obedecer a essa relação.

Passo 6

Agora, observamos que nem todo vetor (a, b, c) em R^3 satisfaz a condição a - b = c . Por exemplo, se escolhermos a = 1 , b = 1 e c = 3 , a condição não é satisfeita porque 1 - 1 neq 3 .

Passo 7

Isso significa que existem vetores em R^3 que não são imagem de nenhum vetor em R^3 sob a transformação T . Portanto, a transformação T não é sobrejetora.

Resposta

Não, a transformação T não é sobrejetora, pois nem todo vetor em R^3 pode ser obtido como imagem de algum vetor em R^3 por T .

Exercícios relacionados