Vamos resolver o exercício que nos pede para verificar se a transformação linear , definida por
é sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser sobrejetora e utilizar conceitos de álgebra linear relacionados a transformações lineares e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação sobrejetora. Uma transformação é sobrejetora se para todo vetor em , existe pelo menos um vetor em tal que . Em outras palavras, a transformação “atinge” todo o espaço de chegada .
Passo 3
Para verificar se é sobrejetora, precisamos ver se para qualquer vetor em , conseguimos encontrar valores de em que satisfaçam as equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para x, y, z . Começamos pelas duas primeiras equações:
x = a + z \
y = b + z
Substituímos essas expressões na terceira equação:
(a + z) - (b + z) = c
Simplificando:
a - b = c
Passo 5
A equação a - b = c nos mostra uma condição para que o sistema tenha solução. Isso significa que para que exista x, y, z que satisfaçam todas as três equações, os coeficientes a, b, c devem obedecer a essa relação.
Passo 6
Agora, observamos que nem todo vetor (a, b, c) em R^3 satisfaz a condição a - b = c . Por exemplo, se escolhermos a = 1 , b = 1 e c = 3 , a condição não é satisfeita porque 1 - 1 neq 3 .
Passo 7
Isso significa que existem vetores em R^3 que não são imagem de nenhum vetor em R^3 sob a transformação T . Portanto, a transformação T não é sobrejetora.
Resposta
Não, a transformação T não é sobrejetora, pois nem todo vetor em R^3 pode ser obtido como imagem de algum vetor em R^3 por T .