Seja
A=[ccc -1 & 14 & 3 0 & -4 & 2 0 & -4 & 2 ]
Encontre todos os autovalores de A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todos os autovalores da matriz A . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para isso, vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz e resolver a equação resultante.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que são autovalores. Autovalores são valores lambda que satisfazem a equação det(A - lambda I) = 0 , onde A é a matriz dada e I é a matriz identidade do mesmo tamanho de A .

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I . A matriz identidade I de ordem 3 é:
I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Então,
A - lambda I = -1 - lambda & 14 & 3 0 & -4 - lambda & 2 0 & -4 & 2 - lambda

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz A - lambda I :
det(A - lambda I) = -1 - lambda & 14 & 3 0 & -4 - lambda & 2 0 & -4 & 2 - lambda
Como há zeros na primeira coluna abaixo da primeira linha, podemos expandir o determinante por essa coluna para facilitar:
det(A - lambda I) = (-1 - lambda) cdot -4 - lambda & 2 -4 & 2 - lambda
Calculando o determinante 2x2:
-4 - lambda & 2 -4 & 2 - lambda = (-4 - lambda)(2 - lambda) - (2)(-4) = ( (-4)(2) + 4lambda -2lambda + lambda^2 ) + 8 = (-8 + 2lambda + lambda^2) + 8 = lambda^2 + 2lambda
Portanto,
det(A - lambda I) = (-1 - lambda)(lambda^2 + 2lambda)

Passo 5

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
(-1 - lambda)(lambda^2 + 2lambda) = 0
Isso nos dá duas equações:
  1. -1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = -1
  2. lambda^2 + 2lambda = 0 Rightarrow lambda(lambda + 2) = 0 Rightarrow lambda = 0 ou lambda = -2

Resposta

Os autovalores da matriz A são lambda = -1 , lambda = 0 e lambda = -2 .

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