Dê um exemplo de matrizes e , tais que: 1) e , para quaisquer ) o produto , em que é a matriz nula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar dois exemplos de matrizes e , cada uma com 2 linhas e 2 colunas (), que satisfazem duas condições:
Todas as entradas de e são diferentes de zero ( e para todo ).
O produto dessas matrizes resulta na matriz nula ().
Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e entender o que é a matriz nula. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como multiplicar duas matrizes e de tamanho . Se:
Então o produto é:
Queremos que esse resultado seja a matriz nula:
Passo 3
Agora, precisamos que cada uma das quatro entradas de A times B seja igual a zero. Ou seja, temos o seguinte sistema de equações:
a11b11 + a12b21 = 0
a11b12 + a12b22 = 0
a21b11 + a22b21 = 0
a21b12 + a22b22 = 0
Nosso objetivo é encontrar valores para aij e bij diferentes de zero que satisfazem todas essas equações.
Passo 4
Uma maneira de resolver isso é escolher valores para A ou B de forma que possam cancelar uns aos outros quando multiplicados. Vamos supor que:
A = 1 & 1 1 & 1
Agora precisamos escolher B de forma que o produto seja a matriz nula. Vamos encontrar B :