Dê um exemplo de matrizes A2 times 2 e B2 times 2, tais que: 1) ai j neq 0 e bi j neq 0, para quaisquer i, j ; 2 ) o produto A B=0, em que 0 é a matriz nula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar dois exemplos de matrizes A e B , cada uma com 2 linhas e 2 colunas ( 2 times 2 ), que satisfazem duas condições:
  1. Todas as entradas de A e B são diferentes de zero ( aij neq 0 e bij neq 0 para todo i, j ).
  2. O produto dessas matrizes A times B resulta na matriz nula ( 0 ).
Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e entender o que é a matriz nula. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como multiplicar duas matrizes A e B de tamanho 2 times 2 . Se:
A = a11 & a12 a21 & a22 e B = b11 & b12 b21 & b22
Então o produto A times B é:
A times B = a11b11 + a12b21 & a11b12 + a12b22 a21b11 + a22b21 & a21b12 + a22b22
Queremos que esse resultado seja a matriz nula:
0 = 0 & 0 0 & 0

Passo 3

Agora, precisamos que cada uma das quatro entradas de A times B seja igual a zero. Ou seja, temos o seguinte sistema de equações:
  1. a11b11 + a12b21 = 0
  2. a11b12 + a12b22 = 0
  3. a21b11 + a22b21 = 0
  4. a21b12 + a22b22 = 0
Nosso objetivo é encontrar valores para aij e bij diferentes de zero que satisfazem todas essas equações.

Passo 4

Uma maneira de resolver isso é escolher valores para A ou B de forma que possam cancelar uns aos outros quando multiplicados. Vamos supor que:
A = 1 & 1 1 & 1
Agora precisamos escolher B de forma que o produto seja a matriz nula. Vamos encontrar B :
B = b11 & b12 b21 & b22
Usando a primeira equação do sistema:
1 cdot b11 + 1 cdot b21 = 0 implies b11 + b21 = 0 implies b21 = -b11
Usando a segunda equação:
1 cdot b12 + 1 cdot b22 = 0 implies b12 + b22 = 0 implies b22 = -b12
Usando a terceira equação:
1 cdot b11 + 1 cdot b21 = 0 implies b11 + (-b11) = 0 (já satisfaz) á
Usando a quarta equação:
1 cdot b12 + 1 cdot b22 = 0 implies b12 + (-b12) = 0 (já satisfaz) á
Então, qualquer B onde b21 = -b11 e b22 = -b12 funcionará.

Passo 5

Vamos escolher valores específicos para B . Por exemplo, vamos definir:
b11 = 1 e b12 = 2
Então,
b21 = -1 e b22 = -2
Portanto,
B = 1 & 2 -1 & -2

Resposta

Um exemplo de matrizes que satisfazem as condições é:
A = 1 & 1 1 & 1 e B = 1 & 2 -1 & -2
Essas matrizes têm todas as entradas diferentes de zero, e seu produto é a matriz nula:
A times B = 0 & 0 0 & 0

Exercícios relacionados