Existe uma matriz quadrada
tal que
tem inversa, mas
não tem inversa?
Passo 1
O enunciado pergunta se existe uma matriz quadrada
tal que
seja invertível mas
não seja invertível. O conteúdo envolve propriedades de matrizes invertíveis e determinantes. Vamos usar a definição de inversa e a relação de determinantes para potências.
Passo 2
Se
é invertível, existe
tal que
Multiplicando essa igualdade por
à esquerda e à direita, obtemos
Logo,
é invertível e
.
Passo 3
Alternativamente, usando determinantes, se
então
o que implica que
também é invertível.
Resposta
Não existe matriz quadrada
que seja invertível e ao mesmo tempo faça com que
não seja invertível.