Existe uma matriz quadrada A tal que A tem inversa, mas A^2 não tem inversa?

Passo 1

O enunciado pergunta se existe uma matriz quadrada A tal que A seja invertível mas A^2 não seja invertível. O conteúdo envolve propriedades de matrizes invertíveis e determinantes. Vamos usar a definição de inversa e a relação de determinantes para potências.

Passo 2

Se A é invertível, existe A^-1 tal que
A,A^-1 = A^-1A = I
Multiplicando essa igualdade por A à esquerda e à direita, obtemos
A^2,(A^-1A^-1) = I e (A^-1A^-1),A^2 = I
Logo, A^2 é invertível e (A^2)^-1 = A^-1A^-1.

Passo 3

Alternativamente, usando determinantes, se det(A)neq0 então
det(A^2) = l(det(A)r)^2neq0,
o que implica que A^2 também é invertível.

Resposta

Não existe matriz quadrada A que seja invertível e ao mesmo tempo faça com que A^2 não seja invertível.

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