Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma transformação linear definida por . A pergunta é: essa transformação é injetora? Ou seja, queremos saber se ela mapeia vetores diferentes em imagens diferentes. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de transformação linear e injetividade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear ser injetora. Uma transformação é injetora se, sempre que , então . Em outras palavras, não há dois vetores diferentes que passam pelo mesmo ponto após a transformação. Para verificar isso, a gente pode analisar o núcleo (ou kernel) da transformação, que é o conjunto de todos os vetores tais que .
Passo 3
Vamos encontrar o núcleo de [T). Precisamos resolver a equação , ou seja:
Isso nos dá um sistema de equações:
3.
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, sabemos que x = z . Da segunda, y = z . E da terceira, x = y . Substituindo x = z e y = z na terceira equação, temos z = z , que é sempre verdadeiro. Isso significa que todas as três variáveis são iguais, e qualquer vetor (x, y, z) no núcleo satisfaz x = y = z .
Então, o núcleo de T é o conjunto de vetores da forma (k, k, k) , onde k é um número real. Ou seja:
Núc<=o(T) = , (k, k, k) mid k in R , ú
Passo 5
Como o núcleo de T não contém apenas o vetor zero (ele contém todos os vetores onde x = y = z ), isso significa que existem vetores diferentes de zero que são mapeados para zero pela transformação T . Portanto, a transformação T não é injetora.
Resposta
A transformação T não é injetora porque seu núcleo contém mais vetores além do vetor zero.