Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear dada por
T(x, y, z)=(x-z, y-z, x-y)
A transformação T é injetora? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z) = (x - z, y - z, x - y) . A pergunta é: essa transformação T é injetora? Ou seja, queremos saber se ela mapeia vetores diferentes em imagens diferentes. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de transformação linear e injetividade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear ser injetora. Uma transformação T é injetora se, sempre que T(u) = T(v) , então u = v . Em outras palavras, não há dois vetores diferentes que passam pelo mesmo ponto após a transformação. Para verificar isso, a gente pode analisar o núcleo (ou kernel) da transformação, que é o conjunto de todos os vetores v tais que T(v) = 0 .

Passo 3

Vamos encontrar o núcleo de [T). Precisamos resolver a equação , ou seja:
Isso nos dá um sistema de equações:

  1. 3.

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, sabemos que x = z . Da segunda, y = z . E da terceira, x = y . Substituindo x = z e y = z na terceira equação, temos z = z , que é sempre verdadeiro. Isso significa que todas as três variáveis são iguais, e qualquer vetor (x, y, z) no núcleo satisfaz x = y = z .
Então, o núcleo de T é o conjunto de vetores da forma (k, k, k) , onde k é um número real. Ou seja:
Núc<=o(T) = , (k, k, k) mid k in R , ú

Passo 5

Como o núcleo de T não contém apenas o vetor zero (ele contém todos os vetores onde x = y = z ), isso significa que existem vetores diferentes de zero que são mapeados para zero pela transformação T . Portanto, a transformação T não é injetora.

Resposta

A transformação T não é injetora porque seu núcleo contém mais vetores além do vetor zero.

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