Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f, definida e derivável em R, tal que f'(x) > 0 para x < 1 e f'(x) < 0 para x > 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente dar um exemplo de uma função que é definida e derivável em todos os números reais ( ). Além disso, essa função precisa ter a derivada positiva para e negativa para . Isso significa que a função está aumentando antes de e diminuindo depois de . Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, e também entender como essas propriedades afetam o gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em uma função simples que atenda a essas condições. Uma boa opção é usar uma parábola invertida, que tem um ponto máximo. Por exemplo, podemos escolher:
Aqui, é uma constante que determina o ponto mais alto da parábola. Essa função é definida e derivável em todos os reais.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada dessa função para verificar se ela atende às condições do exercício.

Passo 4

Vamos analisar o sinal da derivada :
  • Para :
    Ou seja, a função está aumentando.
  • Para :
    Ou seja, a função está diminuindo.

Passo 5

Perfeito! A derivada confirma que a função está aumentando antes de e diminuindo depois de , exatamente como o exercício pede. Agora, vamos visualizar isso com um gráfico.

Passo 6

Aqui está o gráfico da função :
Nesse gráfico, , posicionando o vértice da parábola no ponto . Você pode ver que a função aumenta até e depois começa a diminuir, conforme esperado.

Resposta

Um exemplo é a função . Seu gráfico é uma parábola invertida com vértice em , aumentando para e diminuindo para .

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