Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função
, definida e derivável em
, tal que
para
e
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente dar um exemplo de uma função
que é definida e derivável em todos os números reais (
). Além disso, essa função precisa ter a derivada positiva para
e negativa para
. Isso significa que a função está aumentando antes de
e diminuindo depois de
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, e também entender como essas propriedades afetam o gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em uma função simples que atenda a essas condições. Uma boa opção é usar uma parábola invertida, que tem um ponto máximo. Por exemplo, podemos escolher:
Aqui,
é uma constante que determina o ponto mais alto da parábola. Essa função é definida e derivável em todos os reais.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada dessa função para verificar se ela atende às condições do exercício.
Passo 4
Vamos analisar o sinal da derivada
:
-
Para
: Ou seja, a função está aumentando. -
Para
: Ou seja, a função está diminuindo.
Passo 5
Perfeito! A derivada confirma que a função
está aumentando antes de
e diminuindo depois de
, exatamente como o exercício pede. Agora, vamos visualizar isso com um gráfico.
Passo 6
Aqui está o gráfico da função
:
Nesse gráfico,
, posicionando o vértice da parábola no ponto
. Você pode ver que a função aumenta até
e depois começa a diminuir, conforme esperado.
Resposta
Um exemplo é a função
. Seu gráfico é uma parábola invertida com vértice em
, aumentando para
e diminuindo para
.