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Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 1. (1,0 ponto para cada item) Considere a limaçon C ⊆ R², curva polar dada pela equação
r = 1 + 2 cos(θ)
Esboce a curva C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar a curva chamada limaçon, que é uma curva polar. A equação que temos é . Para resolver isso, vamos precisar entender como essas curvas são desenhadas no sistema de coordenadas polares, identificar pontos-chave e analisar a forma geral da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de para alguns ângulos específicos de . Isso ajuda a plotar pontos importantes na curva.
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
    Aqui, negativo significa que o ponto está no sentido oposto, ou seja, com .
  • Quando :
  • Quando :

Passo 3

Vimos que para diferentes valores de , varia. Agora, vamos analisar a simetria da curva. A presença de na equação indica que a curva é simétrica em relação ao eixo (o eixo horizontal no sistema polar).

Passo 4

Vamos identificar os pontos mais distantes e mais próximos do centro (origem):
  • O valor máximo de ocorre quando :
    á
  • O valor mínimo de ocorre quando :
    í
    Como não pode ser negativo no sentido usual, isso indica que a curva tem um ponto de “cavidade”.

Passo 5

Com base nesses pontos, podemos desenhar a forma geral da limaçon. Ela terá uma “dente” saindo do eixo , devido ao termo , e uma parte mais próxima formando uma cavidade.

Resposta

O esboço da curva resulta em uma limaçon com uma espécie de dente ao longo do eixo horizontal. A curva atinge seu ponto mais distante em e tem uma cavidade interna quando diminui para , refletindo a simetria em relação ao eixo .

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