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Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 1. (1,0 ponto para cada item) Considere a limaçon
, curva polar dada pela equação
Esboce a curva
.
Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 1. (1,0 ponto para cada item) Considere a limaçon
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar a curva chamada limaçon, que é uma curva polar. A equação que temos é
. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas curvas são desenhadas no sistema de coordenadas polares, identificar pontos-chave e analisar a forma geral da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores de
para alguns ângulos específicos de
. Isso ajuda a plotar pontos importantes na curva.
-
Quando
: -
Quando
: -
Quando
: Aqui,negativo significa que o ponto está no sentido oposto, ou seja, com . -
Quando
: -
Quando
:
Passo 3
Vimos que para diferentes valores de
,
varia. Agora, vamos analisar a simetria da curva. A presença de
na equação indica que a curva é simétrica em relação ao eixo
(o eixo horizontal no sistema polar).
Passo 4
Vamos identificar os pontos mais distantes e mais próximos do centro (origem):
-
O valor máximo de
ocorre quando : -
O valor mínimo de
ocorre quando : Comonão pode ser negativo no sentido usual, isso indica que a curva tem um ponto de “cavidade”.
Passo 5
Com base nesses pontos, podemos desenhar a forma geral da limaçon. Ela terá uma “dente” saindo do eixo
, devido ao termo
, e uma parte mais próxima formando uma cavidade.
Resposta
O esboço da curva
resulta em uma limaçon com uma espécie de dente ao longo do eixo horizontal. A curva atinge seu ponto mais distante em
e tem uma cavidade interna quando
diminui para
, refletindo a simetria em relação ao eixo
.