Dê um exemplo para mostrar que mesmo sendo e divergentes, é possivel que seja convergente.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de duas séries divergentes e
cujo produto termo a termo
seja convergente.
O conteúdo é séries numéricas, em particular divergência por não-tendência a zero e convergência condicional (teste de Leibniz).
Passo 2
Definimos a sequência
Então
e a harmônica diverge.]
Passo 3
Definimos a sequência por
Como não existe (os termos não vão a zero), a série diverge.
Passo 4
O produto termo a termo é, para ,
Portanto
que é a série alternada harmônica. Pelos critérios de Leibniz, como decresce para zero, essa série converge (condicionalmente).
Resposta
Um exemplo é
Então sumn=-infty^inftyan e sumn=1^inftybn divergem, mas sumn=1^inftyanbn=sumn=1^infty(-1)^n/n converge.