Dê um exemplo para mostrar que mesmo sendo sum+infty^+infty an e sumn=1^+infty bn divergentes, é possivel que sumn=1^+infty an bn seja convergente.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de duas séries divergentes
sumn=-infty^inftyan e sumn=1^inftybn
cujo produto termo a termo
sumn=1^inftyanbn
seja convergente.
O conteúdo é séries numéricas, em particular divergência por não-tendência a zero e convergência condicional (teste de Leibniz).

Passo 2

Definimos a sequência
Então
e a harmônica diverge.]

Passo 3

Definimos a sequência (bn)n>=1 por
bn=(-1)^n
Como limntoinftybn não existe (os termos não vão a zero), a série
sumn=1^inftybn diverge.

Passo 4

O produto termo a termo é, para n>=1,
anbn = 1n,(-1)^n
Portanto
sumn=1^inftyanbn = sumn=1^infty(-1)^n1n,
que é a série alternada harmônica. Pelos critérios de Leibniz, como 1/n decresce para zero, essa série converge (condicionalmente).

Resposta

Um exemplo é
an = 0, & n=0, 1/|n|, & nneq0, bn=(-1)^n
Então
sumn=-infty^inftyan e sumn=1^inftybn divergem, mas
sumn=1^inftyanbn=sumn=1^infty(-1)^n/n converge.

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