(EXEMPLO) - No projeto de tanque agitados a força do agitador pode ser representada pela expressão a seguir, válida para o sistema inglês de engenharia:
F=0,5 \rho v^{2} d
Onde:
F= força do agitador, slug.ft/sec { }^{2}
v= velocidade do agitador, \mathrm{ft} / \mathrm{sec}
\rho= massa específica do fluido, slug/ \mathrm{ft}^{3}
d= diâmetro do agitador, ft .
Por meio da análise dimensional, escrever a expressão para a estimativa de F para tornála válida com as unidades do sistema SI.
Verificação sobre a homogeneidade dimensional da expressão. Se a expressão não for dimensionalmente homogênea, estabelecer a dimensão da constante 0,5 .
Resposta: A constante possui dimensão L
F=0,1524 \rho v^{2} d
v= velocidade do agitador =4 \mathrm{ft} / \mathrm{sec}
\rho= massa específica do fluido =1,2 \mathrm{slug} / \mathrm{ft}^{3}
d= diâmetro do agitador =2 \mathrm{ft}
O cálculo de F para os valores acima, utilizando a expressão original, resulta em 19,2 slug.ft / \mathrm{sec}^{2} ou 19,2 lbf.
Fatores de conversão: (Sistema Inglês de Engenharia para o SI)
1 slug. \mathrm{ft} / \mathrm{sec}^{2}( ou 1 lbf )=4,4482 \mathrm{~N}
1 slug / \mathrm{ft}^{3}=515,3788 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}
1 \mathrm{ft} / \mathrm{sec}=0,3048 \mathrm{~m}
1 \mathrm{ft}=0,3048 \mathrm{~m}
Então:
v= velocidade do agitador =4 \mathrm{ft} / \mathrm{sec} \rightarrow 1,2192 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
\rho= massa específica do fluido =1,2 \mathrm{slug} / \mathrm{ft}^{3} \rightarrow 618,45 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}
d= diâmetro do agitador =2 \mathrm{ft} \rightarrow 0,6096 \mathrm{~m}
F= força do agitador =19,2 \mathrm{lbf} \rightarrow 85,405 \mathrm{~N}
Valor de F calculado com a expressão transformada:
\mathrm{F}=0,1524 \times 618,45 \times(1,2192)^{2} \times 0,6096=85,405 \mathrm{~N}

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão, no sistema inglês de engenharia, para a força do agitador:
F = 0,5\,\rho\,v^{2}\,d
onde F tem unidade slu g\cdot ft/s ^2, \rho em slug/ft ^3, v em ft/s e d em ft. O objetivo é, por análise dimensional, obter a forma equivalente no SI, verificar a homogeneidade dimensional e encontrar a dimensão da constante 0,5.

Passo 2

Determinar a dimensão de cada grandeza. Em termos de massa (M), comprimento (L) e tempo (T):
[F]=M\,L\,T^{-2}
[\rho]=M\,L^{-3}
[v]=L\,T^{-1}
[d]=L
Logo o produto \rho\,v^{2}\,d tem dimensão
[M\,L^{-3}]\,[L^{2}\,T^{-2}]\,[L] \;=\; M\,L^{0}\,T^{-2}\;=\;M\,T^{-2}.
Para que F seja M\,L\,T^{-2}, a constante C (que vale 0,5 no inglês) deve ter dimensão L.

Passo 3

Agora fazemos a equivalência numérica usando fatores de conversão do sistema inglês para o SI:
1~\text{slug\cdotft/s}^2 = 4{,}4482~\text{N}, \quad 1~\text{slug/ft}^3 = 515{,}3788~\text{kg/m}^3, \quad 1~\text{ft} = 0{,}3048~\text{m}.
Queremos C_{\rm SI} tal que
C_{\rm SI}\,\bigl(\rho_{\rm SI}\bigr)\,(v_{\rm SI})^2\,(d_{\rm SI}) \;=\; 4{,}4482\;\times\;0{,}5\,\rho_{\rm ing}\,v_{\rm ing}^2\,d_{\rm ing}
para quaisquer valores. Substituindo os fatores, obtém-se
C_{\rm SI}=0{,}5\times\frac{4{,}4482}{515{,}3788\times(0{,}3048)\times(0{,}3048)^2} =0{,}1524.
Assim, no SI a expressão fica
F=0{,}1524\,\rho\,v^{2}\,d,
com \rho em kg/m ^3, v em m/s, d em m e F em N.

Passo 4

Converter os dados numéricos para SI:
v=4~\tfrac{\mathrm{ft}}{\mathrm{s}}\to1{,}2192~\mathrm{m/s}, \quad \rho=1{,}2~\tfrac{\text{slug}}{\mathrm{ft}^3}\to618{,}45~\mathrm{kg/m}^3, \quad d=2~\mathrm{ft}\to0{,}6096~\mathrm{m}.

Passo 5

Calcular F em SI usando a expressão transformada:
F=0{,}1524\times618{,}45\times(1{,}2192)^{2}\times0{,}6096 =85{,}405\;\mathrm{N}.

Resposta

A expressão no SI é
F=0{,}1524\,\rho\,v^{2}\,d,
a constante original 0,5 tem dimensão de comprimento ( L) e, para os valores dados,
F=85{,}405~\mathrm{N}.

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