EXEMPLO 4 O raio de uma esfera foi medido e descobriu-se que possui 21 cm com uma possibilidade de erro na medida de no máximo 0,05 cm. Qual é o erro máximo usando esse valor de raio para computar o volume da esfera?

Passo 1

A questão diz que medimos o raio de uma esfera como 21 cm, com erro máximo de 0,05 cm, e pede o erro máximo no volume calculado. O conteúdo envolvido é propagação de erros usando derivadas (aproximação linear).

Passo 2

A primeira coisa é lembrar a fórmula do volume de uma esfera em função do raio. Temos
V(r)=43pi r^3

Passo 3

Para estimar como um pequeno erro em r afeta V, usamos a derivada dV/dr. Calculando:
dVdr=4pi r^2

Passo 4

Agora avaliamos essa derivada no valor nominal do raio r=21 cm:
dVdr|r=21=4pi,(21)^2=4picdot441=1764pi

Passo 5

O erro máximo no volume é dado pela aproximação linear
De

Passo 6

Substituindo De cm e o valor da derivada:
De
Convertendo para valor numérico:
88,2piapprox277,1 cm^3

Resposta

O erro máximo no volume da esfera é aproximadamente 277,1 cm³.

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