Dê exemplo de relações de equivalência sim em um conjunto X tais que:
X seja um conjunto infinito e o conjunto X / sim contenha exatamente 11 elementos.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de relação de equivalência sim num conjunto infinito X de modo que o conjunto quociente X/sim tenha exatamente 11 elementos. Para isso, vamos usar o conceito de relação de equivalência e classes de equivalência:
bul<=t Uma relação sim em X é de equivalência se for reflexiva, simétrica e transitiva.
bul<=t Cada xin X gera uma classe [x]=yin Xmid ysim x.
bul<=t O conjunto quociente X/sim é o conjunto de todas as classes [x].

Passo 2

Escolhemos X=Z, o conjunto dos inteiros, que é infinito. Definimos a relação
msim n se, e somente se, mequiv npmod11,
isto é, 11 divide m-n. Vamos mostrar rapidamente que isso é de equivalência:
1. Reflexiva: m-m=0 é múltiplo de 11, logo msim m.
2. Simétrica: se m-n é múltiplo de 11 então também n-m=-(m-n) é múltiplo de 11, logo nsim m.
3. Transitiva: se m-n e n-p são múltiplos de 11 então (m-n)+(n-p)=m-p também é, logo msim p.

Passo 3

As classes de equivalência são exatamente os restos da divisão por 11. Para cada rin0,1,2,dots,10 temos
[r]=,ninZmid nequiv rpmod11
Cada uma dessas 11 classes é infinite (pois, por exemplo, se nin[r] então n+11kin[r] para todo kinZ), e não há mais classes porque todo inteiro dá resto entre 0 e 10 na divisão por 11.

Resposta

Tomando X=Z e definindo
msim n iff mequiv npmod11,
temos que sim é relação de equivalência em X e
X/sim=[0],[1],[2],dots,[10]
contém exatamente 11 elementos.

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