Dê exemplo de relações de equivalência
em um conjunto
tais que:
seja um conjunto infinito e o conjunto
contenha exatamente 11 elementos.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de relação de equivalência
num conjunto infinito
de modo que o conjunto quociente
tenha exatamente
elementos. Para isso, vamos usar o conceito de relação de equivalência e classes de equivalência:
Uma relação
em
é de equivalência se for reflexiva, simétrica e transitiva.
Cada
gera uma classe
.
O conjunto quociente
é o conjunto de todas as classes
.
Passo 2
Escolhemos
, o conjunto dos inteiros, que é infinito. Definimos a relação
isto é,
divide
. Vamos mostrar rapidamente que isso é de equivalência:
. Reflexiva:
é múltiplo de
, logo
.
. Simétrica: se
é múltiplo de
então também
é múltiplo de
, logo
.
. Transitiva: se
e
são múltiplos de
então
também é, logo
.
Passo 3
As classes de equivalência são exatamente os restos da divisão por
. Para cada
temos
Cada uma dessas
classes é infinite (pois, por exemplo, se
então
para todo
), e não há mais classes porque todo inteiro dá resto entre
e
na divisão por
.
Resposta
Tomando
e definindo
temos que
é relação de equivalência em
e
contém exatamente
elementos.