Dê exemplo de relações de equivalência sim em um conjunto X tais que:
X seja um conjunto infinito e X / sim também seja um conjunto infinito.

Passo 1

O enunciado pede para exibirmos exemplos de relações de equivalência sim em um conjunto infinito X tais que o conjunto quociente X/!sim também seja infinito. O conteúdo aqui é a definição de relação de equivalência (reflexiva, simétrica, transitiva) e a construção do conjunto quociente, cujos elementos são as classes de equivalência.

Passo 2

Exemplo 1 (relação identidade). Seja X qualquer conjunto infinito e defina
xsim y Leftrightarrow x=y
Essa relação é claramente reflexiva, simétrica e transitiva. Cada classe de equivalência é o singleton x, de modo que
X/!sim=lxmid xin Xr
tem exatamente tantos elementos quanto X. Como X é infinito, X/!sim também é infinito.

Passo 3

Exemplo 2 (agrupamento por valor absoluto em Z). Tome X=Z e defina
xsim y Leftrightarrow |x|=|y|
Verificamos que é equivalência:
  • Reflexiva: |x|=|x|.
  • Simétrica: se |x|=|y| então |y|=|x|.
  • Transitiva: se |x|=|y| e |y|=|z| então |x|=|z|.
As classes são
[0]=0, [1]=1,-1, [2]=2,-2,dots
Logo
Z/!sim=l[n]mid ninN0r
é um conjunto infinito de classes de equivalência.

Resposta

Uma possibilidade é a relação identidade em qualquer conjunto infinito X, definida por
,xsim yiff x=y,
cujo quociente X/!sim tem cardinalidade igual à de X.
Outra é, em X=Z, definir
,xsim yiff|x|=|y|,
que produz as classes 0,1,-1,2,-2,dots e tem quociente infinito.

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