Dê exemplo de relações de equivalência
em um conjunto
tais que:
seja um conjunto infinito e
também seja um conjunto infinito.
Passo 1
O enunciado pede para exibirmos exemplos de relações de equivalência
em um conjunto infinito
tais que o conjunto quociente
também seja infinito. O conteúdo aqui é a definição de relação de equivalência (reflexiva, simétrica, transitiva) e a construção do conjunto quociente, cujos elementos são as classes de equivalência.
Passo 2
Exemplo 1 (relação identidade). Seja
qualquer conjunto infinito e defina
Essa relação é claramente reflexiva, simétrica e transitiva. Cada classe de equivalência é o singleton
, de modo que
tem exatamente tantos elementos quanto
. Como
é infinito,
também é infinito.
Passo 3
Exemplo 2 (agrupamento por valor absoluto em
). Tome
e defina
Verificamos que é equivalência:
- Reflexiva:
. - Simétrica: se
então . - Transitiva: se
e então .
As classes são
Logo
é um conjunto infinito de classes de equivalência.
Resposta
Uma possibilidade é a relação identidade em qualquer conjunto infinito
, definida por
cujo quociente tem cardinalidade igual à de
.
Outra é, em , definir
que produz as classes e tem quociente infinito.
cujo quociente
Outra é, em
que produz as classes