Teste a validade das propriedades reflexiva, simétrica e transitiva para as relações binárias definidas através dos seguintes subconjuntos Omega subset R times R=R^2 (plano real):
Omega=(x, y) in R^2: y=x

Passo 1

O enunciado define a relação binária
Omega = (x,y)inR^2 : y = x.
Vamos testar as propriedades de:
– Reflexividade: para todo xinR, deve ter (x,x)inOmega.
– Simetria: se (x,y)inOmega então (y,x)inOmega.
– Transitividade: se (x,y)inOmega e (y,z)inOmega então (x,z)inOmega.

Passo 2

(reflexividade) Seja xinR. Como para (x,x) vale x=x, temos (x,x)inOmega. Logo a relação é reflexiva.

Passo 3

(simetria) Suponha (x,y)inOmega. Então y=x. Invertendo, x=y, o que implica (y,x)inOmega. Portanto a relação é simétrica.

Passo 4

(transitividade) Suponha (x,y)inOmega e (y,z)inOmega. Então y=x e z=y. Portanto z=x, o que mostra (x,z)inOmega. Logo a relação é transitiva.

Resposta

A relação Omega=(x,y)inR^2:y=x é reflexiva, simétrica e transitiva.

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