Teste a validade das propriedades reflexiva, simétrica e transitiva para as relações binárias definidas através dos seguintes subconjuntos
(plano real):
Passo 1
O enunciado define a relação binária
.
Vamos testar as propriedades de:
– Reflexividade: para todo , deve ter
.
– Simetria: se então
.
– Transitividade: se e
então
.
Vamos testar as propriedades de:
– Reflexividade: para todo
– Simetria: se
– Transitividade: se
Passo 2
(reflexividade) Seja
. Como para
vale
, temos
. Logo a relação é reflexiva.
Passo 3
(simetria) Suponha
. Então
. Invertendo,
, o que implica
. Portanto a relação é simétrica.
Passo 4
(transitividade) Suponha
e
. Então
e
. Portanto
, o que mostra
. Logo a relação é transitiva.
Resposta
A relação
é reflexiva, simétrica e transitiva.