Teste a validade das propriedades reflexiva, simétrica e transitiva para as relações binárias definidas através dos seguintes subconjuntos Omega subset R times R=R^2 (plano real):
Omega=(x, y) in R^2: x <= 0 e y >= 0

Passo 1

O enunciado define em R uma relação R por
(x,y)inOmegaLong<=ftrightarrow x<= 0;e;y>= 0
Vamos testar as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade.

Passo 2

Reflexividade exige que todo ainR satisfaça (a,a)inOmega. Isso implica
a<= 0e a>= 0
ou seja a=0. Como isso não vale para todo a, a relação não é reflexiva.

Passo 3

Simetria exige que, sempre que (x,y)inOmega, tenhamos (y,x)inOmega. Se (x,y)inOmega então x<= 0 e y>= 0. Para (y,x)inOmega seria preciso y<= 0 e x>= 0. Tome o contra-exemplo
(-1,1)inOmega(pois (-1<=0) e (1>=0)),
porém
(1,-1)notinOmega(pois (1not<=0))
Logo a relação não é simétrica.

Passo 4

Transitividade exige que, sempre que (x,y)inOmega e (y,z)inOmega, a gente tenha (x,z)inOmega.
(x,y)inOmega x<=0 e y>=0.
(y,z)inOmega y<=0 e z>=0.
Juntando, y>=0 e y<=0 forçam y=0, e continuamos com x<=0 e z>=0.
Isso mostra (x,z)inOmega em todo caso, logo a relação é transitiva.

Resposta

A relação dada por Omega não é reflexiva, não é simétrica e é transitiva.

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