Teste a validade das propriedades reflexiva, simétrica e transitiva para as relações binárias definidas através dos seguintes subconjuntos
(plano real):
e
Passo 1
O enunciado define em
uma relação
por
Vamos testar as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade.
Passo 2
Reflexividade exige que todo
satisfaça
. Isso implica
ou seja
. Como isso não vale para todo
, a relação não é reflexiva.
Passo 3
Simetria exige que, sempre que
, tenhamos
. Se
então
e
. Para
seria preciso
e
. Tome o contra-exemplo
porém
Logo a relação não é simétrica.
Passo 4
Transitividade exige que, sempre que
e
, a gente tenha
.
dá
e
.
dá
e
.
Juntando, e
forçam
, e continuamos com
e
.
Isso mostra em todo caso, logo a relação é transitiva.
Juntando,
Isso mostra
Resposta
A relação dada por
não é reflexiva, não é simétrica e é transitiva.