Dê um exemplo S de um subconjunto de R^4 que:
seja um subespaço vetorial de R^4 e prove .
obs: não aceitarei outro método de resolução, apenas o que aprendemos na aula.

Passo 1

O enunciado pede para apresentar um exemplo de um subconjunto SsubseteqR^4 que seja um subespaço vetorial de R^4 e provar isso usando o método que aprendemos na aula. Em aula vimos o critério de subespaço: para mostrar que S é subespaço de R^4, basta verificar que
  1. o vetor zero está em S,
  2. S é fechado em soma de vetores,
  3. S é fechado em multiplicação por escalar.

Passo 2

Definimos
S = (x1,x2,x3,0)inR^4 mid x1,x2,x3inR
Veja que todo vetor de S tem a quarta componente igual a zero.

Passo 3

Verificamos que o vetor zero de R^4 pertence a S. De fato,
0 = (0,0,0,0)
e essa escolha satisfaz a quarta componente igual a zero, logo 0in S.

Passo 4

Mostramos a fechamento na soma. Sejam
u=(u1,u2,u3,0)in S
e
v=(v1,v2,v3,0)in S.
Então
u+v =(u1+v1,;u2+v2,;u3+v3,;0+0) =(u1+v1,;u2+v2,;u3+v3,;0)
Como a quarta componente continua zero, u+vin S.

Passo 5

Mostramos a fechamento na multiplicação por escalar. Seja alphainR e u=(u1,u2,u3,0)in S. Então
alpha,u =(alpha u1,;alpha u2,;alpha u3,;alphacdot 0) =(alpha u1,;alpha u2,;alpha u3,;0)
Novamente a quarta componente é zero, logo alpha,uin S.

Passo 6

Como já verificamos que S contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos pelo critério de subespaço que S é de fato um subespaço vetorial de R^4.

Resposta

Um exemplo é
S = (x1,x2,x3,0)inR^4 mid x1,x2,x3inR,
que foi provado ser subespaço vetorial de R^4 pelos três requisitos do critério de subespaço.

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