Dê um exemplo
de um subconjunto de
que:
seja um subespaço vetorial de
e prove .
obs: não aceitarei outro método de resolução, apenas o que aprendemos na aula.
seja um subespaço vetorial de
obs: não aceitarei outro método de resolução, apenas o que aprendemos na aula.
Passo 1
O enunciado pede para apresentar um exemplo de um subconjunto
que seja um subespaço vetorial de
e provar isso usando o método que aprendemos na aula. Em aula vimos o critério de subespaço: para mostrar que
é subespaço de
, basta verificar que
- o vetor zero está em
, -
é fechado em soma de vetores, -
é fechado em multiplicação por escalar.
Passo 2
Definimos
Veja que todo vetor de
tem a quarta componente igual a zero.
Passo 3
Verificamos que o vetor zero de
pertence a
. De fato,
e essa escolha satisfaz a quarta componente igual a zero, logo
.
Passo 4
Mostramos a fechamento na soma. Sejam
e
.
Então
e
Então
Como a quarta componente continua zero,
.
Passo 5
Mostramos a fechamento na multiplicação por escalar. Seja
e
. Então
Novamente a quarta componente é zero, logo
.
Passo 6
Como já verificamos que
contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos pelo critério de subespaço que
é de fato um subespaço vetorial de
.
Resposta
Um exemplo é
que foi provado ser subespaço vetorial de
pelos três requisitos do critério de subespaço.